1.2充分条件与必要条件-人教A版高中数学选修2-1课件（25张PPT）

1.2.1充分条件与
必要条件
原命题
若p则q
逆否命题
若?q则?p
否命题
若?p则?q
逆命题
若q则p
互逆
互逆
互 否
互 否
互为 逆否
1、命题：
可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。
2、四种命题及相互关系：
一、复习引入
注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
所以我们在直接判断某一个命题的真假较困难时，可以通过判断它的逆否命题的真假来确定原命题的真假。
(2)因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。
所以并不能得到a一定为0。所以是假命题
例 :判断下列命题的真假。
(1)若x>a2+b2，则x>2ab。
(2)若ab=0,则a=0。
解：(1)因为若x>a2+b2，而a2+b2≥2ab，
所以可以得到x>2ab。所以是真命题.
一、复习引入
一般地，“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.
这时，我们就说，由p可推出q，
记作:p?q（或q?p）
并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
命题(1)可记作 x>a2+b2?x>2ab
其中，x>a2+b2是x>2ab的充分条件
x>2ab是x>a2+b2的必要条件
如果“若p,则q”为假命题，那么由p推不出q.
记作:p?q（q?p）
此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
命题(2)可记作 ab=0?a=0
其中，ab=0不是a=0的充分条件
a=0不是ab=0的必要条件
p?q，则p是q的充分条件，
q是p的必要条件
P
Q
理解充分条件和必要条件
若x>3, 则x>1.
如果已知p?q，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件。
简化定义：
例1、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若x=1，则x2 –4x+3=0；
(2)若f(x)=x，则f(x)为增函数；
(3)若x为无理数，则x2为无理数
解：命题(1)(2)是真命题，命题(3)是假命题.
所以命题(1)(2)中的p是q的充分条件
二、新课
例2、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1) 若x=y，则x2=y2；
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；
(3) 若a>b，则ac>bc。
解：命题(1)(2)是真命题，命题(3)是假命题，
所以命题(1)(2)中的q是p的必要条件。
二、新课
1、用符号“充分”或“必要”填空：
(1)“0(2)“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形为正方形”的_______条件。
(3)“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”的_______条件。
三、能力测试
充分
必要
充分
1.2.2充要条件
思考：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数.那么p和q是什么关系?
p?q且q?p
1、定义:
称:p是q的充分必要条件,简称充要条件
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件
p与q互为充要条件
(也可以说成“p与q等价”“q当且仅当p”)
如果既有p?q，又有q?p就记做p?q
2、各种充分条件、必要条件:
(2)如果A?B且B?A，
那么A是B的充分不必要条件
(3)如果A?B且B?A，
那么A是B的必要不充分条件
(4)如果A?B且B?A，
那么A是B的既不充分也不必要条件
(1)如果A?B且B?A，
那么A是B的充要条件
A
B
A
B
A
B
A=B
B?A
A?B
充分非必要条件
必要非充分条件
既不充分也不必要条件
充分且必要条件
2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
1)A?B且B?A，则A是B的
2)若A?B且B?A，则A是B的
3)若A?B且B?A，则A是B的
4)A?B且B?A，则A是B的
注:一般情况下若条件甲为x∈A，条件乙为x∈B
3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
当且仅当A?B时，甲为乙的充分条件；
当且仅当B?A时，甲为乙的必要条件；
当且仅当A=B时，甲为乙的充要条件.
例3、下列各题中,哪些p是q的充要条件?
(1)p:b=0, q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数
(2)p:x>0,y>0, q:xy>0
(3)p:a>b, q:a+c>b+c
解：在(1)(3)中，p?q，所以(1)(3)中的p是q的充要条件.在(2)中q?p，所以(2)中的p不是q的充要条件.
1、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：
(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件.
(2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条件.
(3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件.
(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
练习
2、在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：
如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的____________条件；
如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的____________条件；
如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的____________条件；
如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的____________条件；
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
练习、已知条件p:A={x|x2-(a+1)x+a≤0}，
条件q:B={x|x2-3x+2≤0}，当a为何值时：
(1)p是q的充分不必要条件？
(2)p是q的必要不充分条件？
(3)p是q的充分必要条件？
【解题回顾】充要条件的证明一般分两步：
　　　　　证充分性即证A ?B，证必要性即证B?A
练习、求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
3、在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
C
4、“若p，则q”为真命题，下列说法一定正确的是( )
A.?p是?q的充分条件
B.?p是?q的必要条件
C.?p是?q的充要条件
D.?p是?q的既不充分也不必要条件
B
练习
5、填写“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”。
(1)sinA>sinB是A>B的_________ 条件。
(2)在△ABC中，sinA>sinB是 A>B的________条件。
既不充分又不必要
充要
6、a＞b成立的充分不必要的条件是（　）
A. ac＞bc B. a/c＞b/c
C. a+c＞b+c D. ac2＞bc2
D
充分不必要
必要不充分
8.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根是ac<0的____________条件.
必要不充分
9、已知关于x的方程 (1-a)x2+(a+2)x-4=0(a∈R).
求：(1)方程有两个正根的充要条件；
(2)方程至少有一个正根的充要条件。
【解题回顾】
一是容易漏掉讨论方程二次项系数是否为零，二是只求必要条件忽略验证充分条件.即以所求的必要条件代替充要条件.
1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
注意点
2.弄清楚
①A是B的充分条件与A是B的充分不必要条件之间的区别与联系；
②A是B的必要条件与A是B的必要不充分条件之间的区别与联系
3、注意几种方法的灵活使用：
　　　定义法、集合法、逆否命题法
如果已知p?q，则说p是q的充分条件， q是p的必要条件。
① 认清条件和结论。
② 考察p?q和q?p的真假。
① 可先简化命题。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
1、定义：
2、判别步骤：
3、判别技巧：
四、小结