1.3简单的逻辑联结词-人教A版高中数学选修2-1课件（22张PPT）

1.3简单的逻辑联结词
在数学中常常要使用逻辑联结词“或”、“且”、“非”，它们与日常生活中这些词语所表达的含义和用法是不尽相同的，下面我们就分别介绍数学中使用联结词“或”、“且”、“非”联结命题时的含义与用法。
为了叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。
“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词。
一、由“且”构成的复合命题
思考：下列三个命题间有什么关系？
(1)12能被3整除；
(2)12能被4整除；
(3)12能被3整除且能被4整除.
可以看到命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“且”联结得到的新命题.
定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”
思考：命题 p∧q的真假如何确定?
一般地，我们规定:
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题。
全真为真,有假即假.
p
q
简记为：一假必假
例1、将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假:
(1)p:平行四边形的对角线互相平分，q:平行四边形的对角线相等.
p∧q：平行四边形的对角线互相平分且相等.由于p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题
(2)p:菱形的对角线互相垂直，q:菱形的对角线互相平分.
p∧q：菱形的对角线互相垂直且平分.由于p是真命题，q是真命题，所以p∧q是真命题
(3)p:35是15的倍数，q:35是7的倍数
p∧q：35是15的倍数且是7的倍数.由于p是假命题，q是真命题，所以p∧q是假命题
例2、用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断它们的真假:
(1)1既是奇数,又是素数;
(2)2和3都是素数.
解：(1)命题“1既是奇数,又是素数”可以改写为“1是奇数且1是素数”.
因为“1是素数”是假命题,所以这个命题是假命题.
(2)命题“2和3都是素数”可以改写为“2是素数且3是素数”.
因为“2是素数”与“3是素数”都是真命题,所以这个命题是真命题.
练习
1、判断下列命题的真假：
(1)12是48且是36的约数；
(2)矩形的对角线互相垂直且平分。
真
假
2、用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断真假。
(1)y=cosx是周期函数,又是偶函数；
(2)24是8的倍数,又是9的倍数.
真
假
二、由“或”构成的复合命题
思考：下列三个命题间有什么关系？
(1)27是7的倍数；
(2)27是9的倍数；
(3)27是7的倍数或是9的倍数.
可以看到命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“或”联结得到的新命题。
定义:一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”
思考：命题 p∨q的真假如何确定？
一般地，我们规定:
当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。
p
q
有真即真, 全假为假.
简记为：一真必真
例3、判断下列命题的真假
(1)2≤2;
“p:2<2”是假命题；“q:2=2”是真命题，所以p∨q是真命题
(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集;
“p:集合A是A∩B的子集”是真命题；“q:集合A是A∪B的子集”是真命题，所以p∨q是真命题
(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.
“p:周长相等的两个三角形全等”是假命题；“q:面积相等的两个三角形全等”是假命题，所以p∨q是假命题
3、判断下列命题的真假
(1)47是7的倍数或49是7的倍数；
(2)等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直。
练习
真
假
4、用逻辑联结词“或”改写下列命题，并判断真假。
(1)能被5整除的数的末位数字不是0就是5；
(2)9是质数，9是12的约数.
真
假
思考:
如果p∧q为真命题,那么p∨q一定是真命题?反之,如果p∨q为真命题,那么p∧q一定是真命题?
若p∧q为真命题，那么p和q都是真命题，所以p∨q为真命题
反之,如果p∨q为真命题，那么p和q一真一假或者全部为真，所以p∧q不一定是真命题
提高题：设p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围.
解：若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根
即 p: m>2
若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根
则?=16(m-2)2-16<0,
即1∴ m>2
∴q:1< m<3
∵p或q为真,则p,q至少一个为真,又p且q为假,则p,q至少一个为假
∴p,q一真一假，p真q假或者p假q真
三、由“非”构成的复合命题
思考：下列两个命题间有什么关系?
(1)35能被5整除；
(2)35不能被5整除.
可以看到，命题(2)是命题(1)的否定.
定义:一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作?p，读作“非p”或“p的否定”。
若p是真命题，则?p必是假命题，若p是假命题，则?p必是真命题。
例4、写出下列命题的否定,并判断它们的真假:
(1)p：y=sinx是周期函数；
(2)p：3<2;
(3)p：空集是集合A的子集.
解：(1)?p：y=sinx不是周期函数.
命题p是真命题，?p是假命题
(2)?p：3≥2.
命题p是假命题，?p是真命题
(3)?p：空集不是集合A的子集.
命题p是真命题，?p是假命题
练习
5、写出下列命题的否定
(1)p：我们班的同学都是团员
(2)p：我们班至少有10名团员

(3)p：我们班至多有10名团员
(4)p：奇数是质数
?p:我们班的同学不都是团员
?p: 我们班至多有9名团员
?p: 我们班至少有11名团员
?p: 有些奇数不是质数
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面
=
>
是
都是
至多有一个
至少有一个
所有的
否定
≠
≤
不是
不都是
至少有两个
没有一个
某些
归纳：命题的否定注意以下几个方面
(1)对或的否定：命题“p或q”的否定是
“?p且?q”
(2)对且的否定：命题“p且q”的否定是
“?p或?q”
思考：命题的否定和否命题一样吗？
命题的否定只否定结论
否命题既否条件又否结论
例：p：平行四边形对角线互相平分
非p：平行四边形对角线不互相平分
p的否命题：不是平行四边形的四边形对角线不互相平分
已知p:|x2-x|≥6,q:x∈Z.p且q与非q都是假命题,求x的值.
提高题
复合命题的真假可用如下真值表来表示：
真
假
假
真
真
假
假
真
假
假
真
真
p
q
p∧q
p∨q
?p
真
真
真
假
假
真
假
假
1、逻辑联结词 “或”、“且”、“非”的含义
2、判断命题真假的步骤
(3)根据真值表判断命题的真假.
(1)把命题写成两个简单命题，并确定命题的构成形式；
(2)判断简单命题的真假；
课堂小结
“或”：不等式 x2?x?6>0的解集{ x | x3 }
“且”：不等式 x2?x?6<0的解集 { x | ?2< x<3 }
即 { x | x>?2且x<3 }
“非”：三角形的内角和不大于180°
“或” A∪B={x|x∈A或x∈B}
“且” A∩B={x|x∈A且x∈B}
“非” ?UA={x|x∈U且x?A}
“或”、“且”、“非”与集合的意义相同吗?
拓展延伸