2.1从平面向量到空间向量-北师大版高中数学选修2-1课件（29张PPT）

一. 复习平面向量
1.向量定义：
既有大小又有方向的量叫做向量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法：
用小写字母表示，或者用表示向量的
有向线段的起点和终点字母表示。
如: a 或AB
2.向量的表示方法：
3.相等向量：
方向相同且模相等的向量.
相反向量：
平行向量：
共线向量：
单位向量：
零向量：
方向相反且模相等的向量.
方向相同或相反的向量.
平行向量也叫共线向量.
模为1个单位的向量.
模为0的向量.
a
a
相反向量
a
b
c
共线向量或平行向量
3、
A
B
C
D
A
B
C
D
a
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
b
空间向量的客观存在
物理中的事例
如图
F1
F2
F3
一个放在水平面上物体，受到不在同一平面内的三个力的作用，如何求它们的合力？
正东
正北
向上
这需要进一步来认识空间中的向量
F3
F1
F2
如图一块均匀的正三角形钢板质量为500kg，
在它的顶点处分别受F1、F2、F3三个力，每
个力与同它相邻的三角形的两边的夹角都是
60度，且︱F1︱= ︱F2︱ =︱F3︱=200kg。
这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？
这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？
看下面建筑
这个建筑钢架中有很多向量的身影，但他们有些并不在同一平面内——这就是我们今天要学习的空间向量.
复习回顾：平面向量
定义：
既有大小又有方向的量叫做向量。
用有向线段表示
用小写字母表示，或者用表示
向量的有向线段的起点和终点字母表示
相等向量：
零向量：
单位向量：
相反向量：
长度为0的向量
模为1的向量
长度相等且方向相同的向量
长度相等且方向相反的向量
几何表示法：
字母表示法：
2、平面向量的加法、减法
向量加法的三角形法则
向量加法的平行四边形法则
向量减法的三角形法则
a －
b
a ＋
b
a
A
B
b
C
a
A
B
b
D
C
a
A
B
b
C
a ＋
b
3、平面向量的加法运算律
加法交换律：
加法结合律：
在一个平面内来考虑
既有大小又有方向的量称为平面向量
在一个空间内来考虑
既有大小又有方向的量称为空间向量
1.空间向量的概念
可以看出:
平面向量与空间向量只是研究的范围不同.平面向量扩展到空间就是空间向量。
2.空间向量的表示
表示方法1: 用有向线段表示
表示方法2: 用字母表示
a, b, c……
或者 a, b, c……
如 , A叫做向量的起点, B叫做向量的终点;
AB
注意：数学中所讨论的向量与向量的起点无关称之为自由向量。
A
B
3.空间向量的模：
空间向量的大小也叫做向量的长度或模
用∣ ∣或∣ ∣表示。
4.空间两向量的夹角
a
b
b
a
B
O
A
当< , >=?/2时,向量 与 垂直,
a
b
a
b
a
b
记作: ⊥
当< , >=0或?时,向量 与 平行,
a
b
a
b
a
b
记作: //
4.空间两向量的夹角
注意：〈a,b〉=〈b,a〉
平面向量
空间向量
具有大小和方向的量
具有大小和方向的量
几何表示法
几何表示法
字母表示法
字母表示法
向量的大小
向量的大小
长度为零的向量
长度为零的向量
模为1的向量
模为1的向量
长度相等且方向
相反的向量
长度相等且方向
相反的向量
长度相等且方向相同 的向量
长度相等且方向相同的向量
定义
表示法
向量的模
零向量
单位向量
相反向量
相等向量
类比平面向量与空间向量的基本概念
思考交流：
在同一平面
在一个空间
3,4
平面直线的方向向量是如何定义的？直线的方向向量唯一吗？
如何表示空间直线的方向向量？
三 空间直线的方向向量
L
在平面内与直线L共线的向量叫直线的方向向量。
直线的方向向量有无数条。
a
过空间中一定点A，作法向量
为 的平面。
a
a
A
结论：过一点只能做一个平面和已知法向量垂直。
a
b
a
b
O
A
B
b
结论：1.空间任意两个向量都是共面向量，但不确定唯一平面。
2.平面向量中两个向量的有关结论如加、减、数乘、内积仍适用于空间向量。这也是我们后面学习空间向量运算的基础。
思考：空间任意两个向量是否共面？
是否确定唯一的平面？
4.零向量：
规定：长度为0的向量叫做零向量，记作:
5.单位向量：
模为1的向量称为单位向量
当有向线段的起点A与终点B重合时，
6.相反向量：
与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量。
记作:
7.相等向量：
方向相同且模相等的向量称为相等向量
因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。
空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量。
平面向量
概念
加法
减法
运算
运
算
律
定义
表示法
相等向量
减法:三角形法则
加法:三角形法则或
平行四边形法则
空间向量的加法、减法运算
空间向量
具有大小和方向的量
加法交换律
加法结合律
a
b
a
b
a
b
+
O
A
B
b
C
空间向量的加减法
a
b
O
A
B
b
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
平面向量
概念
加法
减法
运算
运
算
律
定义
表示法
相等向量
减法:三角形法则
加法:三角形法则或
平行四边形法则
空间向量的加法、减法运算
空间向量
具有大小和方向的量
加法交换律
加法结合律
加法交换律
加法:三角形法则或
平行四边形法则
减法:三角形法则
加法结合律
成立吗？
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
a
b
c
a + b + c
a
b
c
a + b + c
a + b
b + c
空间向量的加法、减法运算
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
推广
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，
则它们的和为零向量．即：
推广
对空间向量的加法、减法的说明
⒈ 空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
⒉ 两个向量相加的平行四边形法则在空间
仍然成立．
⒊ 空间向量的加法运算可以推广至若干个
向量相加．
说明
A’
B’
C’
D’
A
B
C
D
a
　　平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．
　　平行四边形ABCD平移向量 a 到 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD— ．
平行六面体