2.2基本不等式（第一课时）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（19张PPT）

2.2 基本不等式（第一课时）

重要不等式：a2＋b2≥2ab
基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于几何平均数．
创设情境
如果a＞0，b＞0，用 代替a，b，得到：
当且仅当a＝b时取等号．
几何平均数
代数平均数
基本不等式

证明：要证明 ，
只需证明 ，
所以原不等式成立．
只需证 ，
只要证
而 显然成立．
过程：执果索因
分析法
新知探究
分析法
基本不等式的几何解释
A
B
C
D
E
a
b
O
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD
≥
几何意义：半径不小于半弦长
当点C在什么位置时OD=CD？
此时a与b的关系是？
重要不等式与基本不等式的比较
适用范围
文字叙述
“=”成立条件
a=b
a=b
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两数的平方和不小于它们积的2倍
a,b∈R
a>0,b>0
例1 若 ,求 的最小值.

新知探究
归纳：
利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足
(1)a，b必须是正数.（一正）
(2)在a+b为定值时，便可以知道ab的最大值；
在ab为定值时，便可以知道a+b的最值. （二定）
(3)当且仅当a=b时，等式成立（三相等）
积定问题
例2 已知x ，y都是正数，求证：
如果积xy 等于定值P，那么当x =y时，和 x +y有最小值 ；
证明：
和定问题
例2 已知x ，y都是正数，求证：
如果和 x +y等于定值S，那么当x =y时，积xy有最大值 .
证明：
配凑系数
分析: x+(1-2x) 不是 常数.
2
=1为
解: ∵00.
1
2
∴y=x(1-2x)= ?2x?(1-2x)
1
2
≤ ?[ ]2
2x+(1-2x)
2
1
2
1
8
= .
当且仅当 时，取“=”号.
2x=(1-2x)，
即 x=
1
4
∴当 x = 时， 函数 y=x(1-2x) 的最大值是 .
1
4
1
8
1. 若 01
2
针对练习
2.已知x>0，y>0，xy=24，求4x+6y的最小值，并说明此时x，y的值．
3 已知x>0，y>0，且x+2y=1求
的最小值.
当x=6，y=4时，最小值为48
针对练习
1、（作业B本）
课本 P42 习题2.2第1，2，4，5题
2、金版 P29-P32
P30第5题 P31 7,8,9 P32 例题2的3,5 不用做，
其他的都做

作业

目标检测
只要把式子倒过来，就可以推出原不等式成立．
即　　　　　　　　 ，
即 ，
即需证 ，
而 显然成立，
已知a，b∈R，求证
1
证明：要证明 　　　　　　，只需证明 　　　　　　　　，

目标检测
（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相应的x值．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以 的最小值为 ，这时 ．
（1）已知x＞0，求 的最小值及相应的x值．
2
解： （1） ∵x＞0，∴ ，
目标检测
由
当且仅当1－x＝x，即 时取等号．
（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相应的x值．
（1）已知x＞0，求 的最小值及相应的x值．
2
解： （2）∵0＜x＜1，∴1－x＞0，

目标检测
（1） ； （2） ．
又由于x≠y，所以等号取不到．
∴ ，
∴ ．
已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
3
证明：（1）∵x，y都是正数，

目标检测
又由于x≠y，所以等号取不到．
∴ ，
∴ ．
两边同乘 ，得 ．
（1） ； （2） ．
已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
3
证明：（2）∵x，y都是正数，

目标检测
当两条直角边的长度各为10 cm时，
两条直角边的和最小，最小值为20．
则由已知得 ＝50，即ab＝100，
∵ ，当且仅当a＝b＝10时取等号．
已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？
4
解：设直角三角形两边为a，b ，
1