3.4.1曲线与方程-北师大版高中数学选修2-1课件（57张PPT）

3.4.1曲线和方程
我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.
问题1：解析几何与坐标法.
问题2：平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
【例1】设A,B两点的坐标分别是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.
解析：设点M(x,y)是线段AB的垂直平分
线上的任意一点，也就是点M属于集合
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
上式两边平方，并整理得
x+2y－7=0. ①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；
（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即
x1+2y1－7=0,
x1=7－2y1.
点M1到A，B的距离分别是
即点M在线段AB的垂直平分线上.
由(1)、(2)可知,方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建系设动点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示所求曲线上任意一点M的坐标；（求谁设谁）
(2)列几何条件:写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)坐标代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明. 另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程.
(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
(5)证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
分析：在建立坐标系时，一般应当充分
利用已知条件中的定点、定直线等，
这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
学习目标：
曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基本问题.
重点和难点：
曲线和方程的概念
曲线和方程之间有什么对应关系呢？
？
为什么?
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程.
1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程
为____________
2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
直线方程是______________
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
为_______________________.
x-y=0
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),
(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
思考1： 我们有哪些可以求直线方程的方法？
0
x
y
A
B
二、典例分析
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),
(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
y
0
x
A
B
M
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),
(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
求曲线的方程
我们的目标就是要找x与y的关系式
先找曲线上的点满足的几何条件
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),
(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
下面证明线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-7=0.
点
到A、B的距离分别是
点
在线段AB的垂直平分线上.
*
课本例
*
B
如何建立直角坐标系？
在建立直角坐标系时应遵循“避繁就简”这一原
则．一般地，我们按以下几个原则来建立直角坐标系：
(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐
标系．
(2)若已知两定点，常以两定点的中点(或其中一个定点)为
原点，两定点所在的直线为 x 轴建立直角坐标系．
(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直
角坐标系．
(4)若已知一定点和一条直线，常以定点到定直线的垂线段
的中点为原点，以定点到定直线的反向延长线为 x 轴正方向建
立直角坐标系．
(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线
为 x 轴建立直角坐标系．
*
课外拓展
P
M
N
O1
O2
高考真题： 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
x
y
o
本节小结：
一、求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤:
1、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐标;
2、找条件，由条件列出方程;
3、化简方程.
说明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.
二、求曲线方程的常用方法：
直接法
检验
作业：
P37 A 3、4
思考题：
优化设计 P21 例2
2.1.2 求曲线的方程
曲线C
方程f(x,y)=0
（第二课时）
忆 一 忆 知 识 要 点
解
已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．
[解题过程]　
以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(－a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y)．
由△ABC是直角三角形可知|OC|＝|OB|＝a，
C点的轨迹是以O为圆心，以a为半径的圆(除去A、B两点)，
∴C点的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
[题后感悟]　(1)求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．
(2)如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征．
2.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
(3)何时用代入法求轨迹方程？
已知一个点在已知曲线上运动，并带动另一个点M运动，在求动点M的方程时，往往用代入法．
3.已知点A是抛物线y＝x2－4上的动点，过A作AB⊥x轴，垂足为B，试求线段AB的中点M的轨迹方程．
解析：　设M(x，y)，A(x0，y0)，则B点坐标为(x0,0)．
∵M为线段AB的中点，
2．求曲线方程(轨迹方程)常见的方法
直接法
直接法
动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程
定义法
动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量
代入法
动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程
待定系数法
根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数
3.建立适当的坐标系
(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系；
(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；
(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系；
(4)若已知一定点和一定直线，常以点到直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线的反向延长线为x轴建立直角坐标系．
◎等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个顶点是B(3,5)，求另一个顶点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？
【错因】　造成以上错误的原因是没有认真考虑题目要求的几何条件实际上有两个：(1)A、B、C三点要组成一个三角形；(2)A、B、C三点组成的三角形是一个等腰三角形．错解过程中，只是根据条件(2)，由|AC|＝|AB|求出方程，所得方程保证满足条件(2)，而无法保证满足条件(1)，解题后没有进行检验，因此造成解题不严密．
例2.设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
O
x
y
Q
C
P
解法一(直接法)：
设OQ为过O的一条弦，P(x,y)为OQ的中点，
则CP⊥OQ，OC的中点为M( ,0)
如图，
从而所求的方程为
而|PM|= |OC|=
M
也可利用斜率，但要讨论
例2.设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
解法二(定义法)：
O
x
y
Q
C
P
由解法一知，∠OPC=900
从而所求的圆的方程为
M
故动点P在以M( ,0) 为圆心，
OC为直径的圆上
例2.设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
解法三(相关点法或称代入法)：
O
x
y
Q
C
P
P(x,y)为OQ的中点，设Q(x1,y1),则
从而所求的方程为
M
又点Q在圆C上，
∴ (x1-1)2+y12=1
故 (2x-1)2+(2y)2=1
例2.设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
解法四(参数法)：
O
x
y
Q
C
P
设P(x,y)，Q(1+cosθ,sinθ),
θ∈[0,2π)则
消去参数，得
M
又点P为OQ的中点，
如图，
例2.设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
解法四(参数法二)：
O
x
y
Q
C
P
设动弦OQ的方程为y=kx,代入
圆的方程，得
消去参数k，得
M
(x-1)2+k2x2=1.
即 (1+k2)x2-2x=0.
设P(x,y)为轨迹上任一点
而y=kx，
方法小结：
求曲线的轨迹方程的主要方法有：
直接法
代入法（相关点法）
参数法
定义法
待定系数法
所求动点随另一动点在已知曲线上的运动而运动，称为相关点法.
已知曲线的类型，可先设出曲线的方程
分析作业： P37 A4
求曲线方程(轨迹方程)常见的方法
直接法
直接法
动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程
定义法
动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量
代入法
动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程
待定系数法
根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数
本节小结：
一、求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤:
1、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐标;
2、找条件，由条件列出方程;
3、化简方程.
说明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.
二、求曲线方程的常用方法：
直接法、相关点法、几何法、定义法、参数法、待定系数法
课堂练习：P37 练习 3