3.4.2 圆锥曲线的共同特征-北师大版高中数学选修2-1课件（47张PPT）

3.4.2 圆锥曲线的共同特征
平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|）的点的轨迹
温故知新
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|）
1、 椭圆的定义：
2 、双曲线的定义：
表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|)
3、抛物线的定义：
表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
探究与思考:
若PF/d≠1呢?
圆锥曲线的统一定义指的是到定点F的距离与到定直线l的距离（F不在l上）的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
解:由题意可得:
化简得
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
令a2-c2=b2,则上式化为:
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、短轴长分别为2a,2b的椭圆.
例1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直
线 的距离的比是常数 (a>c>0),求P的轨迹.
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆.
(3)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线.
圆锥曲线统一定义:
(2)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率,
定点F叫做圆锥曲线的焦点,
定直线l就是该圆锥曲线的准线.
例2.已知双曲线 上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线的距离.
法一:由已知可得a=8，b=6，c=10.
因为|PF1|=14<2a , 所以P为双曲线左支上一点，
设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离
为d，则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16，
所以|PF2|=30，又由双曲线第二定义可得
所以d= |PF2|=24
定 义
图 形
方 程
范 围
对称性
焦 点
顶 点
离心率
F1
F2
M
y
x
O
y
x
O
M
F1
F2
|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|)
(c,0)、(?c,0)
(0,c)、(0,?c)
(?a,0) (0,?b)
|x|? a |y|?b
|x|? b |y|? a
关于x轴、y轴、原点对称
(?b,0) (0,?a)
一个框，四个点，注意光滑和圆扁，莫忘对称要体现
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
F
l
x
o
y
M
H
d
猜想证明
若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它到定直线l: 的距离的比是常数 (0猜想
将上式两边平方并化简得:
则原方程可化为:
0
x
y
P
证明:由已知，得
猜想证明
这是椭圆的标准方程，所以P点的轨迹是长轴长为
短轴长为
的椭圆.
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直
线的距离的比是一个常数
时,这个点的
轨迹是椭圆,这就是椭圆的第二定义，定点是椭圆的
焦点,定直线叫做椭圆的准线,,常数e是椭圆的离心率.
0
x
y
M
对于椭圆
相应于焦点
的准线
方程是
能不能说M到 的距离与到直线
的距离比也是离心率e呢?
)
0
,
(
-c
F
?
概念分析
由椭圆的对称性，相应于焦点
的准线方程是
O
x
y
P
F1
F2
O
y
x
P
F1
F2
右准线
上准线
下准线
左准线
上焦点(0,c), 上准线
右焦点(c,0), 右准线
下焦点(0,-c), 下准线
左焦点(-c,0), 左准线
焦点准线
例2 求中心在原点,一条准线方程是x=3，
离心率为 的椭圆标准方程.
解:依题意设椭圆标准方程为
由已知有
解得a=
c=
所求椭圆的标准方程为
例题讲解
例3 椭圆方程为 ,其上有一点P,它
到右焦点的距离为14,求P点到左准线的距离.
P
0
x
y
解:由椭圆的方程可知
由第一定义可知:
由第二定义知:
例题讲解
P（x0，y0）是椭圆 （a＞b＞0）上的一点，F1，F2是左、右焦点，则PF1，PF2叫焦半径，求证∣PF左∣＝a+ex0 ∣PF右∣＝a-ex0，
例 1
证明:
y
o
P(x0,y0)
x
F1(-C,0)
F1(C,0)
d1
d2
由题意得d1=x0+
d2
=
-
x0
又:
=
=e
=
∴
=ed1=e(x0+
)=
=ed2=e( - x0)=
a+ex0
a-ex0
(法一)
(法二):利用两点距离公式
焦半径：
1)P（x0，y0）是椭圆 （a＞b＞0）上的一点，F1，F2是左、右焦点，则PF1，PF2叫焦半径∣PF左∣＝a+ex0， ∣PF右∣＝a-ex0
2)AB过焦点的弦,
=2a+e(XA+XB)
=2a-e(XA+XB)
Rmax=a+c
Rmin=a-c
3)通经:过焦点且与长轴垂直的弦 d

d=
(当焦点在y轴上时----------- )
例2:在椭圆
距离是到右焦点距离的2倍.


=1求一点P使它到左焦点
+
例2:在椭圆
+
=1求一点P使它到左焦点
距离是到右焦点距离的2倍.
解:设P(x0,y0) 由题意得a=5 c=4 e=

=
a+ex0=5+
x0
=5 -
x0
又
=2
∴
5+ X0
=
2( 5 - X0)
∴
X0=
代入
+
=1
得:y0=±
所以 P( , )
±
思考：抛物线的方程为x=ay2（a≠0)求它的焦点坐标和准线方程？
解：抛物线标准方程为：y2= x
1
a
∴2p=
1
a
4a
1
∴焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=
4a
1
②当a<0时, , 抛物线的开口向左
p
2
=
1
4a
∴焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=
4a
1
1
4a
①当a>0时, , 抛物线的开口向右
p
2
=
1
4a
当a>0时与当a<0时，结论都为：
思考：
二次函数 的图像为什么是抛物线？
当a>0时与当a<0时，结论都为：
例1：（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2，
求它的焦点坐标和准线方程；
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。
解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０）
准线方程为x=- －.
32
32
1 12
解:方程可化为:x =- －y,故p=－,焦点坐标
为(0, -－),准线方程为y= －.
16
1 24
1 24
2
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x = - 8y
2
自主探究
2.已知抛物线的标准方程是y2 = -6x ，则它的焦
点坐标是 ,准线方程是 .
3.已知抛物线的方程是y=6ax2（a≠0），则它
的焦点坐标是 ,准线方程是 .
应用：类题一（由方程求有关量）
1.已知抛物线的标准方程是y2 = 6x ，则它的焦
点坐标是 ,准线方程是 .
感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要注意两点:
1.先化为标准方程 2. 判断焦点的位置
是一次项系数的
是一次项系数 的相反数
即：准确“定型”
练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
焦点
准线
开口方向
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
题型一：利用抛物线的定义解题
例1：已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出此时P点的坐标
题型一：利用抛物线的定义解题
例1.（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程
题型二：求抛物线方程的方法：-----待定系数法
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求抛物线的标准方程
x
y
o
l
F
（0,－2）
解:(2)因为焦点在y轴的负半轴上，并且
∴所求抛物线的标准方程是 x2 =－8y .
= 2,∴p = 4 ,
F
x
y
o
l
X = 1
解：（3）∵准线方程是 x = 1，
（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程
y 2 =－4 x
题型二：求抛物线方程的方法：-----待定系数法
且焦点在 x 轴的负半轴上，
∴所求抛物线的标准方程是 y2 =－4x .
∴ p =2 ，
x
y
o
(3,2)
解：（4）∵点A(3，2) 在第一象限，
y 2 = x 或 x 2 = y
4
3
9
2
（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程
∴抛物线的开口方向只能是向右或向上，
设抛物线的标准方程是
y2 = 2px（p>0），
或 x2 = 2py（p>0），
将（3，2）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为
题型二：求抛物线方程的方法：-----待定系数法
例1.求一渐近线为3x+4y=0,一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程.
解：
1、定义：平面内到一个
定点F和一条定直线 l 的距
　离的比为常数e(0 M的轨迹，叫椭圆。 定点F叫焦点，定直线 l
叫准线。
一、椭圆的第二定义：
（一）知识回顾：
　椭圆有两个焦点F1，F2，两条准线 l1 , l2
F1
F2
M
l1
l2
d1
d2
F2(c,0)
O
x

F1 o
y
P
N
?
?
F2
F1
o
x
y
P
?
M
N
y=a2/c
y=-a2/c
M
F2
焦点在X轴上时,
设 P(x0，y0) 是椭圆上的点，则:焦半径公式为:
|PF1|=a+ex0, |PF2|=a-ex0
焦点在y轴上时,
设 P(x0，y0) 是椭圆上的点，则:焦半径公式为:
|PF1|=a +ey0， |PF2|=a-ey0
椭圆 + =1上的点P与其两焦点
F1、F2的连线段分别叫做椭圆的左
焦半径和右焦半径,统称“焦半径”。
左加右减，下加上减
2、定义式：
3、焦半径公式：
焦点在X轴上：｜MF1| = a + ex , |MF2| = a - ex
焦点在Y轴上：｜MF1| = a + ey , |MF2| = a - ey
左加右减，下加上减
例2、
解：
x
y
.
.
F(5,0)
O
M（x,y）
.
解：
x
y
.
.
F
F ’
O
M
.
双曲线的第二定义：
y
.
.
F
F ’
O
M
.
x
“三定”：
定点是焦点；
定直线是准线；
定值是离心率.(定点不在定直线上)
F1
F2
x
y
两条准线比双曲线的顶点更接近中心
A1
A2
O
F2
例2、
证明：
P
说明：|PF1|, |PF2|称为双曲线的焦半径.
y
.
.
F2
F1
O
.
x
练习
证明：
P
y
.
.
F2
F1
O
.
x
F1
F2
x
y
（二）M2位于双曲线左支
（一）M1位于双曲线右支
焦半径公式：
O
思考：焦点在y轴上呢？
(x, y 互换)
２.两准线间的距离：
１.准线方程：
３.焦准距：焦点到对应准线的距离
4.双曲线的焦半径公式：
点M(x,y)在左支上时： |MF1|＝－a－ex， |MF2|=a－ex
点M(x,y)在右支上时： |MF1|＝a＋ex， |MF2|=－a＋ex
常用结论:
设双曲线
的焦点为：
5、通经：过焦点垂直与实轴的弦
课堂练习
的两准线间的距离等于( )
2、双曲线
1
3
4
2
2
=
-
x
y
的焦点坐标、准线方程
1、求双曲线
1
9
16
2
2
=
-
y
x
和离心率，并用第二定义描述该双曲线。
（A） （B） （C） （D）
B
3、
若改为求P到左准线的距离，答案如何？有几种解法？
F1
F2
x
y
O
D
用椭圆的第二定义求解的一个问题，请仿照此题，设计一个用双曲线的第二定义求解的问题，并给出解答。
一个问题：已知点 在椭圆
4．在学习椭圆的知识时，曾解决过这样
内部， 是椭圆的一个焦点，在椭圆上
求一点P，求 的最小值，这是
A
F
P
d
P
d
P
p
x
y
o
.
F
.
A
.
M
y
.
.
F2
F1
O
.
x
例2.已知双曲线 上一点P到左焦点
的距离为14，求P点到右准线的距离.