4.5.3函数模型的应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（18张PPT）

4.5.3 函数模型的应用
函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画，面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画呢？
我们学过的基本初等函数有一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数以及幂函数.它们都与现实世界有着紧密的联系,有着广泛的应用.
例 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
(1) 根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型.
分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0和平均增长率r.
解： (1) 由题意知y0=55 196，设1950~1959年期间我国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有
由计算工具得
因此我国在1950~1959年期间的人口增长模型为
(2) 利用(1)中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数，查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.
解：(2) 分别取t=1，2，···，8，由 可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人口总数，如下表所示.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}年份
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
计算所得人口总数/万
56 417
57 665
58 940
60 243
61 576
62 938
64 330
65 753
实际人数总数／万
56 300
57 482
58 796
60 266
61 456
62 828
64 563
65 994
根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数
的图象
由上表和上图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
(3) 以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数达到13亿？
解： (3) 将题意知y=130 000，代入：
由计算工具得：
所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年(即1990年)，我国的人口就已达到13亿.
1、本题是应用已知的模型，解决实际问题.
2、在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的使用条件.
总结：
上面涉及的实际问题，是应用已知的函数模型解决，接下来是根据问题的条件自己建立函数模型解决.
例5、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
回报的累积值
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？
1.考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑什么?
想一想：
方案一：每天回报40元；
①例4涉及哪些数量关系？
②如何用函数描述这些数量关系？
思考下面的问题：
投资天数
回报金额
③三个函数模型的增减性如何？
④要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？
每天的回报数、增加量、累计回报数
思考：
2.本题中涉及哪些数量关系?如何利用函数描述这些数量关系?
设第x天所得回报是y元,则方案一可用函数y=40(x∈N*)进行描述;方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述;方案三可以用函数
进行描述。
3.怎样去研究这三个函数,才能找到最佳的方案呢?
要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析,用计算器计算出三种方案所得回报的增长情况,列表如下：
x/天
方案一
方案二
方案三
y/元
增加量/元
y/元
增加量/元
y/元
增加量/元
1
40
10
0.4
2
40
0
20
10
0.8
0.4
3
40
0
30
10
1.6
0.8
4
40
0
40
10
3.2
1.6
5
40
0
50
10
6.4
3.2
6
40
0
60
10
12.8
6.4
7
40
0
70
10
25.6
25.6
8
40
0
80
10
51.2
51.2
9
40
0
90
10
102.4
102.4
…
…
...
…
...
…
30
40
0
300
10
214748364.8
107374182.4
根据所列的表格中提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?
方案一每天的回报不变;方案二、三每天的回报都在增加,且方案三随x的增加每天的回报越来越大,比方案二要大得多。
作出三个方案的图象看看?
o
x
y
20
40
60
80
100
120
140
4
2
6
8
10
12
我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。
指数爆炸
根据以上分析,你认为该作出何种选择?
从问题1可知,考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗?
累计回报表
天数
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
816.8
思考
投资1~6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天（含11天）以上，应选择方案三。
你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?
[例6] 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定
一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万
元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)
随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金
总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。
现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,
其中哪个模型能符合公司的要求？
1、销售利润达到10万元时进行奖励；
2、奖金总数不超过5万元；
3、奖金不超过利润的25%；
4、公司总的利润目标为1000万元。
从1和4知道只需在区间[10，1000]上检验三个模型是否符合公司的要求（即2和3两条）即可。
1.如何利用它们的图象作出选择呢？
2.这三种增长有什么不同呢？
尝试作函数:
y=0.25x, y=log7x+1,

y=1.002x，及y=5的图象.并思考:
▲ 借助计算机作出它们的图象。通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？
200
400
600
800
1000
2
3
4
5
6
7
8
1
0
①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;
②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此该模型不符合要求;
③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。
对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律
是否满足条件3，即 “奖金不超过利润的25%”呢？
y
x
1
2
3
4
5
6
7
8
0
f(x)=log7x+1－0.25x
1
-1
解决函数应用问题的基本步骤：
知识小结