5.2.1三角函数的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（20张PPT）

人教A版高中数学必修第一册
5.2.1 三角函数的概念
广信数学组
引入新课
前面，我们已经把角的范围扩展到了任意角，并用弧度制来度量角，将角和实数建立一一对应关系.
接下来，我们将建立一个数学模型，刻画单位圆上点P位置变化情况.(以点A为起点做逆时针方向旋转)
A
P
O
以单位圆的圆心为原点， 以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系.则A(1，0)，P(x,y)射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
1.新课引入
A(1,0)
P(x,y)
O
x
α
课堂探究
当α= 时，点P的坐标是什么？当α= 或α= 时，点P的坐标又是什么？
A(1,0)
P
O
x
α
A(1,0)
P
O
x
α
A(1,0)
P
O
x
α
M
方法：过点P向x轴做垂线，得到RT?OPM，可以用锐角三角函数求点P的坐标；


课堂探究
?
?
?
一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
角的终边确定，终边与单位圆的交点P确定
点P的横坐标x、纵坐标y都是关于α的函数
当角α确定时
点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的
探索新知——三角函数第一定义（单位圆定义）
三角函数定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)
(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα,即
y=sinα;
(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα,即
x=cosα
(3)把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切函数,记作tanα,即
=tanα (x≠0).
?
?
探索新知
我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数：
正弦函数：y=sinx, x∈R
余弦函数：y=cosx, x∈R
正切函数：y=tanx, x≠
A(1,0)
P(x,y)
O
x
α
①把角放在平面直角坐标系中；
②构造直角三角形；
③求出角的终边与单位圆的交点坐标；
④利用定义来确定三角函数的值；
课堂探究 - 例题讲解
例1 求 的正弦值、余弦值和正切值.
?
?
?
?
?
?
【解】在坐标系中作出∠AOB= ，易知∠AOB的终边与单位圆的交点P的坐标为 ，所以
?
?
随堂练习：
P179 1
P180 2
课堂探究 - 例题讲解
例2 如图,设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y),点P与原点的距离为r.
求证：
α
设α的终边与单位圆交于点P0(x0,y0),分别过点P,P0作x轴的垂线PM,P0M0,垂足分别为M,M0,则:
则|P0M0|＝|y0|，|PM|＝|y|，
|OM0|＝|x0|，|OM|＝|x|，
∴sinα=y0,
ΔOMP∽ΔOM0P0
新知探索 —— 三角函数第二定义
随堂练习：
P180 3
任意角α的三角函数值仅与α有关，而与点P在角的终边上的位置无关.
比较三角函数第一定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)
sinα=y
cosα=x
tanα = (x≠0)
?
例2、已知角α的终边过点P(2,-3) ,求α的三个三角函数值.
05 课堂探究 -例题讲解
随堂练习：
P180 3
05 课堂探究 -例题讲解
课堂探究 - 例题讲解
探究：三角函数的值在各个象限的符号.
+
+
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
-1
O
x
y
O
x
y
O
x
y
0
0
1
0
1
-1
0
0
不存在
0
不存在
终边在坐标轴上的三角函数值呢？
课堂探究 - 随堂练习
例3 求证：角θ为第三象限角的充要条件为
【证明】首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角.
?
因为sinθ<0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和
y轴的负半轴重合；
又因为tanθ＞0成立，所以θ角的终边位于第一或者第三象限，综合可知θ为第三象限角.
再证明必要性，因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ<0，
tanθ>0，所以必要性成立，即充要性成立.
随堂练习：
P182 3 4
05 课堂探究 -例题讲解
例4 确定下列三角函数值的符号：
（1） （2） （3）
解：
（1）因为 是第三象限角，所以 ；
（2）因为 = ，
而 是第一象限角，所以 ；
（3）因为 是第四象限角，所以 .
公式一的作用:把求任意角的三角函数值，转化为0~2π角的三角函数值 .
课堂探究 -终边相同的角的三角函数值
α+2kπ与α终边相同
终边相同的角的同一三角函数值有什么关系？
终边相同的角的三角函数值同一三角函数值相等.
sin(α+2kπ)=sinα
cos(α+2kπ)=cosα
tan(α+2kπ)=tanα
公式一
课堂探究 - 例题讲解
随堂练习：
P182 5
例5 求下列三角函数值：
（1） （2）
解：（1）
练习 求下列三角函数值
（2）
课堂小结
随堂练习：
P180 3
1.三角函数的第一定义：
第二定义：
2.三角函数值在各个象限和轴线上的符号；
3.终边相同的角的统一三角函数值相等
sin(α+2kπ)=sinα
cos(α+2kπ)=cosα
tan(α+2kπ)=tanα
公式一
特殊角的三角函数
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