高中数学人教A版必修4第二章平面向量数量积课件（12张PPT）

平面向量的数量积
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
位移S
O
A
问题情境
θ
F
F
θ
S
W=│F││S│COSθ
1、向量的夹角是如何定义（规定）的？
2、向量的数量积如何定义，它与两个向量的加减法有什么本质区别?
3、向量的数量积是向量吗？向量在方向上　　的投影是向量吗？
4、平面向量的数量积有什么样的几何意义？
小组讨论
（当 　时，a与b＿＿；当 　时，a与b＿＿；当 时，a与b＿＿，记作　　　）
反向
同向
垂直
指出下列图中两向量的夹角
A
O
A
B
B
B
B
.
A
A
O
O
O
.
（2）
（4）
（3）
（1）
（4）中 与 的夹角为θ
　　 已知两个非零向量a和b，在平上任取一点O， =a, =b,则 叫做 向量a与b的夹角
(1)中 与 的夹角为
（2）中 与 的夹角为
（3)中 与 的夹角为
1、向量的夹角
思考1：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？
向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。
（这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）
　已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们　把数量　　　　　叫做向量a与b的数量积（或内积）　记作　　　即

2、数量积的定义
规定： 0
│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。
（1）
思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，并说明它的几何意义是什么？
O
A
B
（2）
a
b
O
A
B
（3）
a
b
a
b
A
O
投影是向量吗
　投影是一个数值（实数），当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是负值。
过b的终点B作 ＝a的垂线段　 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得 =│b│COSθ
B
数量积a?b等于a的长度│a│与b在a的方向上的投影│b│COSθ的积
a?b的几何意义：
3、向量数量积的几何意义
a?b=│a││b│COSθ
a
b
θ
O
B
OB＝ │b│COSθ
4、向量数量积的运算律
(1) a?b= (交换律）
(2)(λa) ?b= = (数乘结合律）
(3)(a+b)?c= （分配律）
λ(a?b)
a?(λb)
b?a
a?c+b?c
5、向量数量积的性质
设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 (1)e?a=a?e=_________
(2)a　b____a?b=0
(3)当a与b同向时，a?b=________
当a与b异向时，a?b=___________
a?a=________
(4) │ a?b │___ │a││b│
(5)cos　＝
______
│a│COSθ
│a││b│
-│a││b│
性质4
a?b=│a│b│COSθ
（1）若a=0，则对任意向量b，有a?b=0 （　　）
(2)若a 0，则对任意非零向量b，有a? b 0
( )
（3）若a 0，且a?b=0，则b=0 （　　）
（4）若a?b=0 ，则a=0或b=0 （　　）
（5）对任意向量a有 （　　）
（
6、反馈练习:判断正误
a?=|a|?
×
×
×
√
√
向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的
7、作业布置
　　《教学导案》P82随堂训练　1、4、6
　　　　　　　　P83强化训练　2、8
谢谢大家！