人教A版高中数学必修1第一章函数的奇偶性课件 （共19张PPT）

函数的奇偶性
生活中我们可以看到以下这些精美的图案
这些图形在初中我们称之为 图形，这种图形有什么特点？
沿着某一条直线折叠，直线两侧的图形能够完全重合
轴对称
再看下面几个图形
这些图形在初中我们称之为 图形，这种图形有什么特点？
绕着某一点旋转180°能够与原图形完全重合
中心对称
●
对称美:
对称是指图形或物体相对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系。相对我们而言对称美在生活中早已不是新鲜事物了，它是无处不在，无处不有的。对称的物体我们在数学课上也有一定程度上的接触。古希腊哲学家曾说过：“美的线条和其他一切美的形体都必须有对称的形式。”可能在我们睁开第一眼的时候，我们就已经发现对称美了。我们在婴儿时代所钟爱的五颜六色的玩具，无不显示对称美的张力。我们的孩童时代，开始学会感知的同时，我们相信，我们第一次欣赏的真正意义上的美，就是潜意识里认识的简单的对称美。对称美赋予了世界更加美丽的事物，我们生活在对称美的世界里，尽情享受着美的熏陶。而人类对对称美也有很深刻的认识和研究。
数学里也有对称美吗？

观察：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
f(x)=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
f(x)=2-｜x︱
…
-1
0
1
2
1
0
-1
…
我们看到，这两个函数的图象都关于y轴对称，那么，如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？
从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同。
例如，对于函数f(x)=x2有：
f(-3)=9=f(3); f(-2)=4=f(2);
f(-1)=1=f(1). ……f(-x)=(-x)2=x2=f(x).
实际上，对于R内任意的一个x，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x).这时我们称函数f(x)=x2为偶函数。
偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
偶函数图象特征：偶函数图象关于y轴对称
观察：
观察函数f(x)=x和f(x)= 的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
f(x)=x
…
…
X
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
f(x)=
…
﹨
…
-3 -2 -1 0 1 2 3
我们看到，两个函数的图象都关于原点对称，函数图象的这个特征，反映在函数解析式上就是：
当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数。
例如，对于函数f(x)=x有：
f(-3)=-3=-f(3);f(-2)=-2=-f(2);
f(-1)=-1=-f(1).
…… f(-x)=-x=-f(x)
实际上，对于函数f(x)=x定义域R内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),这时我们称函数f(x)=x为奇函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称
判断函数奇偶性注意事项：
(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
(2)由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
(4)可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；
(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质．
因此，判断函数f(x)的奇偶性的步骤：
（1）先判断定义域是否关于原点对称
（2）再求f(-x),
若f(-x)=f(x),则为偶函数；
若f(-x)=-f(x),则为奇函数
典型例题分析演练
解析：
（1）∵f(x)的定义域为﹛x｜x≠-1﹜,不关于原点对称
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数
（2） ∵f(x)的定义域为R，关于原点对称
f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x)
∴f(x) 是奇函数
(3)∵f(x)的定义域为R，关于原点对称
f(-x)=
=f(x)
∴f(x) 是偶函数
解析：（1）非奇非偶函数
（2）偶函数
（3）既是奇函数又是偶函数
点评：在奇函数与偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．
函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数－x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．
解析：f(x)为偶函数，偶函数图象关于y轴对称
解析：由于奇函数图象关于原点对称，在图象上我们可以画出f(x)在区间[-5,0)的图象，如图所示
结合图象可知：f(x)>0的x的取值集合为
｛x|-5点评：注意数形结合思想的运用
解析：方法（1）利用定义确定a的值
方法（2）利用特殊值，f(-4)=f(4)可得a=4
解析：由定义域关于原点对称可得a-1=2a,a=-1,再由二次函数是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴为0，b=0
4
-1
0
点评：利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略：
(1)定义域含参数：奇（偶）函数的定义域为[a,b]，根据定义域关于原点对称，可以利用a+b=0求参数
(2)解析式含参数：根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列示，比较系数可解。或者利用特值法也可解，当然，所取特值应在定义域内取。
解析：当x>0时，则-x<0,代入x<0时的解析式得：f(-x)=-x(1+x),因为f(x)是R上的奇函数,有f(-x)=-f(x),所以f(x) =x(1+x)。而f(0)=0
所以f(x)的解析式为：
解析：当x∈(-∞,0)时，则-x ∈(0,+∞),
f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,
因为f(x)为偶函数，f(-x)=f(x)
所以，当x∈(-∞,0)时， f(x) =x2-x-1
点评：(1)若f(x)是奇函数，f(0)=0；
（2）已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，求该函数在与已知区间关于原点对称的区间上的解析式时，首先设出所求区间上的自变量利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可。
小结与反思：
本节课学习了函数的奇偶性的定义
偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
判断函数f(x)的奇偶性的步骤：
（1）先判断定义域是否关于原点对称
（2）再求f(-x),若f(-x)=f(x),则为偶函数；
若f(-x)=-f(x),则为奇函数
作业：P36 ，1，2，练习册
谢谢指导