高中数学人教A版必修1第一章1.3.1函数的单调性 课件（24张PPT）

1.3.1 函数的单调性
第一课时
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
测试时间 t
刚记忆完毕
20分钟后
60分钟后
8-9
小时后
1天后
2天后
6天后
一个月后
记忆保留量y
(百分比)
100
58.2
44.2
35.8
33.7
27.8
25.4
21.1
以上数据表明，记忆保留量y是
时间t的函数. 艾宾浩斯根据这
些数据描绘出了著名的“艾宾浩
斯遗忘曲线”,如图.
1
2
3
t
y
o
20
40
60
80
100
思考1:观察“艾宾浩斯遗忘曲线”，你能发现什么规律？
t
y
o
20
40
60
80
100
1
2
3
函数的单调性
思考2:我们发现随着时间t
的增加，记忆保留量y在不
断减少；从图象上来看，
从左至右图象是在逐渐下降
的。
x
y
o
-1
x
O
y
1
1
2
4
-1
-2
1
1.从左至右图象————
2.在区间 (-∞, +∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着 ————
2.(0,+∞)上从左至右图象上升，
当x增大时f(x)随着增大
1
上升
增大
下降
1.(-∞,0]上从左至右图象
当x增大时f(x)随着
减小
思考1：画出下列函数的图象，根据图象思考当
自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的？
x
y
o
-1
x
O
y
1
1
2
4
-1
-2
1
1
在某一区间内，
当x的值增大时,函数值y也增大——图象在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图象在该区间内逐渐下降。
函数的这种性质称为函数的单调性
思考2：通过上面的观察，如何用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标的变化来说明上升或下降趋势？
思考3：如何用数学符号语言定义函数所具有的这种性质？
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
x
0
1
2
1
y
方案1：在区间（0,＋ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)∞
∞
方案二：
对区间D内 任意 x1，x2 ，
当x1图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
x
0
x1
x2
f (x1)
f (x2)
方案1：在区间（0,＋ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)方案2:(0,+ )取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。
方案3:在(0,+∞)内取任意的x1，x2 且x1∞
∞
∞
y
对区间D内 x1，x2 ，
当x1都
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
定义
任意
如果对于区间D上的任意
两个自变量的值x1,x2，
当x1<
D称为 f (x)的单调
增区间.
那么就说 f (x)在区间D上
是单调增函数，
区间D内随着x的增大，y也增大
图象在区间D逐渐上升
0
x1
f (x1)
f (x2)
1
2
1
y
那么就说在f(x)这个区间上是单调
减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
x
O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，D称为f(x)的单调 区间.
增
当x1<
当x1>
单调区间
如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。
（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在 是单调增函数；
x
y
o
（2） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数
f (x)满足 f (2)> f(1)，则
函数 f (x)在R上是增函数；
y
x
O
1
2
f(1)
f(2)
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5].
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数？
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；
说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可.
2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况
在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
-4
3
2
1
5
4
3
1
2
-1
-2
-1
-5
-3
-2
x
y
O
练一练
根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.


2
5
4
4
x
y
O
-1
3
2
1
解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2) ，[2，4), [4，5].
其中y=f(x)在区间[0，2)，[4，5]上是增函数；
在区间[－1，0），[2，4)上是减函数.
例2 证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间R上是增函数．
例2 证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间R上是增函数．
设 x1，x2 是 R上任意两个实数，且x1﹤x2
证明：
则 f(x1) - f(x2) = (3x1+2) - (3x2+2)
= 3（x1-x2）
由 x1﹤x2 ，得 x1 - x2﹤0
于是 f(x1) - f(x2) ﹤0
即 f(x1) ﹤ f(x2)
所以 f(x)=3x+2在R上是增函数
作差
设值
变形
定号
下结论
用定义证明函数单调性的四步骤：
（1）设值:
在所给区间上任意设两个实 数
（2）作差
（3）变形
作差
：常通过“因式分解”、“通分”、“配方”等
手段将差式变形为因式乘积或平方和形式
判断 的符号
（4）结论:
并作出单调性的结论
设量
判断差符号
作差变形
下结论
课堂小结
1. 两个定义：增函数、减函数的定义；
②(定义法)证明函数单调性，步骤:
①图象法判断函数的单调性：
增函数的图象从左到右
减函数的图象从左到右
上升
下降
3.一个数学思想：数形结合
2：两种方法
例2、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明:
1
2
3
4
1.设值;
2.作差变形;
3.定号;
4.下结论
？
画出函数 图象，写出定义域并写出单调区间：
x
y
_____________
,
讨论：根据函数单调性的定义
拓展探究
y
O
x
在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2
当x1< x2时，都有f(x1) f(x2)
>
y
O
x
-1
1
-1
1
取自变量－1< 1，
而 f(－1) f(1)
∴不能说 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
要写成(-∞,0)，(0,+∞)的形式。
<
逗号隔开
巩固
对区间D内 任意 x1，x2 ，
当x1图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
x
0
x1
x2
f (x1)
f (x2)
1
2
1
方案1：在区间（0,＋ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)方案2:(0,+ )取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。
方案3:在(0,+∞)内取任意的x1，x2 且x1∞
∞
∞
y