上海市进才高级中学2021届高三上学期12月月考数学试题 Word版含答案

进才中学高三月考数学试卷
2020．12
一、填空题
1．若集合false，false，则false__________
2．若false、false满足约束条件false，则false的最小值为________
3．已知向量false，且false，求实数false_______
4．直线false：false与直线false，若false的方向向量是false的法向量，则实数false______
5．false的展开式中，含false项的系数为______
6．通过手机验证码登录共享单车APP，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码false
满足false，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为______
7．已知等比数列false满足false，则false______
8．设函数false，其中false，若函数false在false上恰有2个零点，则false的取值范围为_____
9．欧拉公式false，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列false的通项公式为false，则数列false前2020项的乘积为___________
10．已知函数false的反函数为false，当false时，函数false的最大值为false，最小值为false，则false____________
11．已知实数false同时满足：（1）false，其中false是false边false延长线上一点：（2）关于false的方程false在false上恰有两解，则实数false的取值范围是___________
12．已知false的首项为4，且满足false，则下列命题：
①false是等差数列；②false是递增数列；③设函数false，则存在某个区间
false，使得false在false上有唯一零点；则其中正确的命题序号为__________
二、选择题
13．直线false与圆false的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相以 D．相离
14．已知函数false的图像是由函数false的图像经过如下变换得到：先将false的图像向右平移false个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数false的图像的一条对称轴方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
15．已知数列false、false、false，以下两个命题：①如果false、false、false都是递增数列，则false、false、false都是递增数列；②如果false、false、false是等差数列，则false、false、false都是等差数列；下列判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题 B．①②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
16．已知单位向量false、false，且false，若false，则false的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．1
三．解答题
17．如图所示，在长方体false中，false，false为棱false上一点．
（1）若false，求异面直线false和false所成的角；
（2）若false，求点false到平面false的距离．
18．在false中，角false、false、false的对边分别为false、false、false．
（1）若false，求false的值
（2）若false，求false的值．
19．某油库的设计最大容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起每月购进石油false万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前false个月的需求量false（万吨）与false的函数关系为false，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第false个月油库满足区域内外需求后，油库内储油量false（万吨）与false的函数关系式：
（2）要使16个月内油库总能满足区域内和区域外的需求，且油库的石油剩余量不超过油库的最大容量，试确定false的取值范围．
20．已知数列false、false的各项均为正数，且对任意false，都有false、false、false成等差数列，false、false、false成等比数列，且false．
（1）求证：数列false是等差数列；
（2）求数列false、false的通项公式；
（3）设false，如果对任意false，不等式false恒成立，求实数false的取值范围．
21．设对集合false上的任意两相异实数false、false，若false恒成立，则称false在false上优于false，若false恒成立，则称false在false上严格优于false．
（1）设false在false上优于false，且false是偶函数，判断并证明false的奇偶性；
（2）若false在false上严格优于false，false，若false是false上的增函数，求证：false在false上也是增函数；
（3）设函数false，若false，是否存在实数false使得false在false上优于false，若存在，求实数false的最大值，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1．false 2．false 3．5 4．false
5．80 6．false 7．false 8．false
9．false 10．2 11．false或false 12．②③
二、选择题
13．B 14．A 15．D 16．B
三、解答题
17．（1）false或false或false；（2）false．
解：（1）由题意，false，false，得false
∵false，所以异面直线false和false所成角即为false和false，所成角长方体false，D中，false，
∴false面false，
∴false，故可得false为锐角且false
false
（2）设点false到平面false的距离为false，false，
false．
18．（1）false；（2）false
（1）由余弦定理false，得false ，即false，所以false．
（2）因为false，由正弦定理false，得false，所以false
从而false，即false，故false．
因为false，所以false，false．因此false
19．（1）false；（2）false
（1）由条件得false，false 2分
false 6分
（2）因为false，所以false恒成立． 8分
false恒成立 10分
设false，则：false恒成立，
由false恒成立得false（false时取等号） 12分
false恒成立得false（false时取等号）所以false． 14分
20．（1）证明略；（2）false；（3）false．
解：（1）由已知．false①，false ②．由②可得false③
将③代入①，得对任意false，有false，即false，所以，false是等差数列
（2）设数列false的公差为false．由false，得false，false，所以false．
由已知，当false时，false，而false也满足此式．
所以数列false、false的通项公式为：false．
（3）由（2），得false，
则false
不等式false化为false．
解法一：不等式化为false，
设false，则false对任意false恒成立．
当false，即false时，不满足条件，当false，即false时，满足条件．
当false，即false时，函数false图像的对称轴为直线false，false关于false递减，
只需false，解得false，故false．
综上可得，false的取值范围是false．
解法二：不等式化为false对任意false恒成立，即false
设false，任取false、false，且false，则false
false，故false关于false递减．
又false且false，所以false对任意false恒成立，所以false．
因此，实数false的取值范围是false．
21．（1）偶函数，证明略；（2）证明略；（3）false．
解：（1）设 为任意实数，因为false是偶函数，所以false，即false，
∴false，即false，∴false为偶函数 4分
（2）对于任意false，false，且false，因为false是false上的增函数，所以false，
即false， 5分
所以false
false
即false，得证． 10分
（3）若存在实数false使得false在false上优于false，因为false，
false，在false时恒成立，不妨设false，则false，∴false，
false
false在false时恒成立
false在false时恒成立，
false在false时恒成立．
令false，取false
当false时，false，
当false时，false
不合题意．综上所述，实数false的最大值为false．