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浙江省2020年1月普通高校招生学业水平模拟考试（二）
数学试题
选择题（本大题共18小题，每小题3分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。）
1．设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于（
）
A．[1，2)
B．[1，2]
C．(2，3]
D．[2，3]
2．已知，则cos2a等于（
）
A．
B．
C．
D．
3．计算的值为（
）
A．－24
B．30
C．
D．－13
4．与圆都相切的直线有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
5．已知，且，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
6．若抛物线上的点到其焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
7．设x，y满足约束条件，则z=2x—3y的最小值为（
）
A．-5
B．-1
C．5
D．1
8．已知两条不同的直线，，三个不重合的平面，，，下列命题正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
9．已知直线过点，且在轴上的截距为轴上的截距的两倍，则直线的方程是（
）
A．
B．
C．或
D．或
10．在中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，，，的面积，则a等于（
）
A．
B．
C．或
D．
11．函数的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知某几何体是由正四棱柱割去两部分后得到，其三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
13．已知p：；q：，则p是q的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
15．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知数列是等比数列，为其前项和，若，则（
）
A．50
B．60
C．70
D．80
17．在中，点为边上一点，，且，，，，则（
）
A．5
B．
C．
D．3
18．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我们来重温这个伟大发现.圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
填空题（本小题共4小题，每空3分，共15分。）
19．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列，则______；______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）
20．已知空间向量，，则与的夹角为______.
21．空间四边形中，，则其外接球表面积为__________．
22．已知函数，若对于区间内的任意两个不等实数，，都有，则实数的取值范围是______.
解答题（本大题共3小题，共31分。）
（本小题10分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）求函数的单调减区间.
（本小题10分）
已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.
（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积.
（本小题10分）
已知函数，．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．
（3）求函数的最小值的表达式，并求的最大值．
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精品试卷·第
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浙江省2020年1月普通高校招生学业水平模拟考试（二）
数学试题
选择题（本大题共18小题，每小题3分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。）
1．设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于（
）
A．[1，2)
B．[1，2]
C．(2，3]
D．[2，3]
【答案】A
【详解】
∵M＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}＝（﹣3，2），N＝{x|1≤x≤3}＝[1，3]，∴M∩N＝[1，2）
2．已知，则cos2a等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，故选：D
3．计算的值为（
）
A．－24
B．30
C．
D．－13
【答案】A
【详解】
由题意原式=
4．与圆都相切的直线有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【答案】C
【详解】
的圆心坐标为,半径为；
化为标准方程为,
圆心坐标为,半径为，
圆心距,
∴两圆相外切，
故两圆的公切线有3条.
5．已知，且，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
解：，
，
又，，
，
当且仅当“”时取“”，
的最小值为.
6．若抛物线上的点到其焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【详解】
由题意，，，则，解得
7．设x，y满足约束条件，则z=2x—3y的最小值为（
）
A．-5
B．-1
C．5
D．1
【答案】A
【详解】
作出x，y满足约束条件的可行域，
由得，
当直线经过点时，在y轴上的截距取得最大值，此时z取得最小值，
，
故选：A.
8．已知两条不同的直线，，三个不重合的平面，，，下列命题正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】C
【详解】
解：对于A，当，时，有可能在平面内，所以A错误；
对于B，当，时，平面，有可能相交，所以B错误；
对于C，当，时，由线面垂直的性质可知，所以C正确；
对于D，当，时，直线有可能在平面内，也有可能与不垂直，所以D错误，故选：C
9．已知直线过点，且在轴上的截距为轴上的截距的两倍，则直线的方程是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【详解】
设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，
当时，直线经过原点，其方程为，即；
当时，设直线的方程为，因为直线过点，
所以，解得，所以直线的方程为，即.
所以直线的方程为或.
10．在中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，，，的面积，则a等于（
）
A．
B．
C．或
D．
【答案】C
【详解】
的面积，则，
解得，即或，
当时，由余弦定理知，即符合；
当时，由余弦定理知，即符合；
11．函数的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
当时，，排除;
当时，，排除;
当时，，排除;
12．已知某几何体是由正四棱柱割去两部分后得到，其三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【详解】
由三视图可知：该几何体为一个底面是边长为的正方形，高为的正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成，直观图如图：
四个侧面剩余的部分为全等的梯形，侧面积为，
底面为全等三角形，底面积为：，
新切割面为的等边三角形：面积为，
所以表面积为.
，故选：A
13．已知p：；q：，则p是q的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
p：，
q：，
所以推不出，但能推出，
所以p是q的必要不充分条件.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
设椭圆的左、右焦点分别为，，
由，代入椭圆方程得，
设，，由，
可得，即，即，,
所以，，代入椭圆得，，
由得：，
解得，
由，
所以.
15．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意可得，解得
16．已知数列是等比数列，为其前项和，若，则（
）
A．50
B．60
C．70
D．80
【答案】B
【详解】
解：数列是等比数列，
，，，也成等比数列，
即，，，也成等比数列，
易知公比，
，，
.
17．在中，点为边上一点，，且，，，，则（
）
A．5
B．
C．
D．3
【答案】D
【详解】
因为，所以为中点，
因为，所以为的三等分点，因为，所以为中点，
因为，，所以，所以
所以，
因为，，
所以
18．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我们来重温这个伟大发现.圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【详解】
设球的半径为，
，，,
又，，.
填空题（本小题共4小题，每空3分，共15分。）
19．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列，则______；______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）
【答案】8
.
【详解】
三三数之余二的正整数从小到大排列得到数列为：
；
五五数之余三的正整数，从小到大排列，构成数列为：
.
所以三三数之余二，五五数之余三的正整数，从小到大排列得到数列为：
，数列是以首项为8，公差为15的等差数列.
空1：；
空2：.
20．已知空间向量，，则与的夹角为______.
【答案】
【详解】
由已知条件可得，，因此，与的夹角为.
21．空间四边形中，，则其外接球表面积为__________．
【答案】
【详解】
由，，，又，
∴，即，
∴的中点O为外接球的球心，
且球的半径为，
∴外接球表面积，
22．已知函数，若对于区间内的任意两个不等实数，，都有，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】
函数，
若对于区间内的任意两个不等实数，，
都有，
即，
可得：函数在区间上是增函数，
二次函数的对称轴为：，
可得：，
解得：，
解答题（本大题共3小题，共31分。）
23．已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）求函数的单调减区间.
【详解】
（1）
所以函数的最小正周期为，当时最大值为；
（2）令，
所以，
单调递减区间是.
24．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.
（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积.
【详解】
（1）∵在抛物线上，，
∴点的坐标为，抛物线的准线方程为；
（2）设
的坐标分别为，则，
，∴直线的方程为
，
点到直线的距离，
.
25．已知函数，．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．
（3）求函数的最小值的表达式，并求的最大值．
【详解】
（1）当时，.
所以，函数在区间上为减函数，在区间上为减函数，
当时，，
，，所以，；
（2）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①若函数在区间上是增函数，则，解得；
②若函数在区间上是减函数，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是；
（3）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上为增函数，
则，此时；
②当时，即当时，
函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
则，此时；
③当时，即当时，函数在区间上为减函数，
则，此时.
综上所述，，.
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