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浙江省2020年1月普通高校招生学业水平模拟考试（一）
数学试题
选择题（本大题共18小题，每小题3分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。）
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（
）
A．
B．
C．
D．
3．计算等于（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
4．圆的圆心和半径分别是（
）
A．；1
B．；
C．；1
D．；
5．不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
6．椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．2
7．设实数，满足约束条件，则的最大值是（
）
A．
B．
C．2
D．3
8．关于直线，，及平面，，下列命题中正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
9．圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
10．在中，，，，则（
）
A．
B．4
C．
D．
11．已知，则的图象是（
）．
A．
B．
C．
D．
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．8π
B．16π
C．
D．
13．“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．已知双曲线，则双曲线的焦点坐标为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
15．设函数，则（
）
A．
B．2
C．
D．
16．记为等差数列的前项和，若，，则等于（
）
A．6
B．7
C．8
D．10
17．在平行四边形中，，设，，则向量
（
）
A．
B．
C．
D．
18．正方体中直线与平面所成角为（
）
A．
B．
C．
D．
填空题（本小题共4小题，每空3分，共15分。）
19．已知等差数列的首项为2，等比数列的公比为2，是数列的前项和，且，则__，__．
20．已知两个不同的平面，的法向量分别是和，则平面，的位置关系是________.
21．已知矩形ABCD，，，E为AD的中点，现分别沿BE，CE将，翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P-BCE的外接球的表面积为________．
22．已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是______．
解答题（本大题共3小题，共31分。）
23．（本小题10分）
的内角，，的对边分别为，，，且满足：.
（1）求；
（2）若面积为，外接圆直径为4，求的周长.
24．（本小题10分）
已知中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线：与双曲线的左支交于?两点，求的取值范围.
25．（本小题11分）
已知二次函数满足，且的图像经过点.
求的解析式；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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浙江省2020年1月普通高校招生学业水平模拟考试（一）
数学试题
选择题（本大题共18小题，每小题3分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。）
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，，
所以.
2．（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
.
3．计算等于（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【详解】
由题得.
4．圆的圆心和半径分别是（
）
A．；1
B．；
C．；1
D．；
【答案】B
【详解】
圆的标准方程是：
，
所以圆的圆心和半径分别是；.
5．不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：，
即，
即，
等价于，
解得：，
即原不等式的解集为：.
6．椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【详解】
因为，所以
即
7．设实数，满足约束条件，则的最大值是（
）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】D
【详解】
由实数，满足约束条件，画出可行域如图所示：
目标函数表示动点P与原点所确定直线的斜率，
当点P为点时，目标函数取得最大值，最大值是3，故选：D
8．关于直线，，及平面，，下列命题中正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【详解】
对于A.，由，，在同一个平面可得，在空间不成立，故A.错误；
对于B，由线面垂直的判定定理知少相交条件，故B错误；
对于C，当三个平面，，两两垂直时，显然结论错误，故C错误；
对于D，若，，则，故D正确．
9．圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
圆的圆心坐标为，
由圆的几何性质可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，
直线的斜率为，则所求直线的斜率为，
因此，线段的垂直平分线的方程是，即.
10．在中，，，，则（
）
A．
B．4
C．
D．
【答案】C
【详解】
解：设，，，
，，
，
，
又，
解得：，
由余弦定理得：，
.
11．已知，则的图象是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，为奇函数，
图象关于原点对称，故排除A，D；
当时，，故排除C．
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．8π
B．16π
C．
D．
【答案】A
【详解】
由三视图知：几何体直观图为下图圆柱体：高为h
=
4，底面半径r
=
2圆柱体的一半，
∴，故选：A
13．“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
记“”的解集为集合B，
则或
所以“”能推出“”
“”不能推出“”
所以“”是“”的的充分不必要条件.
14．已知双曲线，则双曲线的焦点坐标为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【详解】
根据双曲线方程可知，焦点在x轴上，，，即，
故焦点为，.
15．设函数，则（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【详解】
函数，故，故
.
16．记为等差数列的前项和，若，，则等于（
）
A．6
B．7
C．8
D．10
【答案】D
【详解】
解：设数列的首项为，公差为，
则由，，
得：，
即，
解得：，
.
17．在平行四边形中，，设，，则向量
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
.
18．正方体中直线与平面所成角为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
设与交于点O，连接DO，则，又面，所以，又，所以面，
所以就是直线与平面所成的角，
设正方体的棱长为2，则在中，所以，
故选：A.
填空题（本小题共4小题，每空3分，共15分。）
19．已知等差数列的首项为2，等比数列的公比为2，是数列的前项和，且，则__，__．
【答案】8
62
【详解】
等差数列的首项为2，公差设为，等比数列的公比为2，
由，可得，
则，即，可得，
则，．
20．已知两个不同的平面，的法向量分别是和，则平面，的位置关系是________.
【答案】
【详解】
，，
，，
.
21．已知矩形ABCD，，，E为AD的中点，现分别沿BE，CE将，翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P-BCE的外接球的表面积为________．
【答案】
【详解】
已知矩形ABCD，，,E为AD的中点,可得,,得所以为长方体的一角,如下图：
其外接球直径为其体对角线长，所以得所以外接球表面积为:.
故答案为:.
22．已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】
令，可得，
作出的图象，如下：
由图可知，当与的图象有三个不同的交点时，
则，
所以的取值范围是.
解答题（本大题共3小题，共31分。）
23．的内角，，的对边分别为，，，且满足：.
（1）求；
（2）若面积为，外接圆直径为4，求的周长.
【详解】
（1），
得，
∴.
（2）的面积，
由正弦定理可知，
由，
则，
∴的周长为.
24．已知中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线：与双曲线的左支交于?两点，求的取值范围.
【详解】
（1）设双曲线方程为(，).由已知得：，，
再由，∴，∴双曲线方程为.
（2）设，，将代入，
得，由题意知解得.
所以当时，l与双曲线左支有两个交点.
25．已知二次函数满足，且的图像经过点.
（1）求的解析式；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【详解】
（1）设，
则，
所以，
又，所以，
则，解得，，则，
因为的图象经过点，所以，即．
故．
（2）设．
因为当时，不等式恒成立，
所以只需，即，解得．
故的取值范围是．
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2
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