2020-2021学年苏科新版九年级下册数学《第6章 图形的相似》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年苏科新版九年级下册数学《第6章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．已知4x﹣5y＝0，则（x+y）：（x﹣y）的值为（　　）
A．1：9
B．﹣9
C．9
D．﹣1：9
2．小明的数学作业本的纸上都是等距离的横线，他在上面任意画一条不与这些横线平行的直线，那么这条直线被这些横线所截得的线段（　　）
A．平行
B．相等
C．平行或相等
D．不相等
3．如图，下列条件中，能使△ACD∽△ABC的是（　　）
A．＝
B．＝
C．CD2＝AD?BD
D．AC2＝AD?AB
4．已知两个相似三角形的周长比为2：3，它们的面积之差为30cm，那么它们的面积之和是（　　）
A．74
B．76
C．78
D．80
5．如图，已知正方形ABCD的边长为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且对应边AB与A′B′之比为1：3，则△ABC的周长与△A′B′C′的周长之比为（　　）
A．3：1
B．1：9
C．1：
D．1：3
7．在同一时刻，一竹竿高2m，影长3m，而一大楼的影长是45m，这个大楼的高是（　　）
A．15m
B．67.5m
C．20m
D．30m
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD＝（　　）
A．4
B．4﹣4
C．﹣4+4
D．4﹣4或﹣4+4
9．语句：“①所有度数相等的角都相似；②所有边长相等的菱形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的圆都相似”中准确的有（　　）
A．4句
B．3句
C．2句
D．1句
10．已知甲、乙两地图的比例尺分别为1：5000和1：20
000，如果甲图上A、B两地的距离与乙图上C、D两地的距离恰好一样长，那么A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比为（　　）
A．5：2
B．2：5
C．1：4
D．4：1
二．填空题
11．某地图的比例尺为1：1
000
000，如果某人在图上量得A、B两城距离为1cm，请推测A、B两城实际距离应为　
　cm．（用科学记数法表示）
12．如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB＝1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为　
　．
13．下列图形中是　
　与　
　相似的．
（1）（2）（3）（4）
14．已知△ABC与△A′B′C′中，AB＝6，BC＝8，A′C′＝4.5，B′C′＝4，要使△ABC∽△A′B′C′，则必有A′B′＝　
　．
15．两个相似三角形的一对对应边长分别为35cm和14cm，它们的面积差为588cm2，则较大的三角形面积为　
　．
16．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B，若OA2﹣AB2＝8，则k的值为　
　．
17．已知a：b：c＝2：3：4，且a﹣2b+3c＝20，则a+2b﹣3c＝　
　．
18．如图所示，AD是△ABC的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若AF：FD＝1：3，则AE：AB＝　
　．
19．如果将两个位似图形的边长同时扩大五倍，则他们的位似比将　
　（填“变大”“变小”或“不变”）
20．旗杆影长为6m．相同时刻．身高170cm的人影长为85cm，那么旗杆的高是　
　．
三．解答题
21．把一根周长为4m的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比．求这个矩形的面积．
22．如图，点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形，已知图中的每个小正方形的边长都是1个单位，在图中选择适当的位似中心，画一个与格点△DEF位似且位似比不等于1的格点三角形．
23．已知：如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交CD于点F，交BC的延长线于点G，连结EC．
（1）求证：△ECF∽△EGC；
（2）若EF＝，FG＝，求AE的长．
24．如图，在△ABC，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，若∠BDE+∠BCE＝180°．
（1）请写出图中的两对相似三角形；（不另外添加字母和线）．
（2）任选其中一对进行证明．
25．如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA＝50m，CB＝60m，∠ACB＝145°，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形．量出AB的长（精确到1毫米），再换算出A、B间的实际距离．
26．如图，已知△ABC，过顶点A作∠B、∠C的平分线的垂线，AF⊥BF于F，AE⊥CE于E．求证：EF∥BC．
27．矩形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN与EF交于点O，记k＝MN：EF．
（1）如图1，当BC＝2AB时，若MN⊥EF，求k的值；
（2）如图2，当BC＝2AB时，求k的最大值和最小值；
（3）若k的值为3，当MN与BD重合且△DOF为直角三角形时，直接写出AB：BC的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：设x＝5k，则y＝4k，根据题意有
（x+y）：（x﹣y）＝（5k+4k）：（5k﹣4k）＝9．
故选：C．
2．解：根据平行线等分线段定理，得这条直线被横线所截得的线段相等．故选B．
3．解：A、＝，不是对应边成比例，则不能使△ACD∽△ABC，故本选项错误；
B、只有＝不能判定△ACD∽△ABC，故本选项错误；
C、由CD2＝AD?BD得到：＝，它不是对应边成比例，则不能使△ACD∽△ABC，故本选项错误；
D、由AC2＝AD?AB得到：＝，结合∠CAD＝∠BAC可以判定△ACD∽△ABC，故本选项正确．
故选：D．
4．解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比为：4：9，
设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，
∵它们的面积之差为30cm2，
∴9x﹣4x＝30，
解得：x＝6，
∴它们的面积之和是：9x+4x＝13x＝78．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AM∥CD，
∴∠DCO＝∠MAO，∠CDO＝∠AMO，
∴△CDO∽△AMO，
∴AM：CD＝OM：OD＝1：2，
∴图中阴影部分的面积是1××＝．
故选：D．
6．解：∵位似是相似的特殊形式，对应边AB与A′B′之比为1：3，
∴△ABC的周长与△A′B′C′的周长之比为1：3
故选：D．
7．解：大楼的高是＝30（m）．故选D．
8．解：∵AB＝AC＝8，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∴∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC：BC＝BC：CD，
∴AC：AD＝AD：CD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD＝AC＝×8＝4（）＝4．
故选：B．
9．解：①角是有公共端点的两条射线组成的图形，只有度数相等，两条射线是可以无限延长的，它们是相似形．所以①正确．
②所有菱形的四条边的比相等，但不能判断它们的对应角相等，它们不一定是相似形．所以②不正确．
③所以正方形的四个角都是90°，对应边的比都相等，它们是相似形．所以③正确．
④圆是以定点为圆心，定长为半径所组成的图形，它们只有大小不同，形状都相同，是相似形．所以④正确．
故选：B．
10．解：把图上距离看作单位1，设A、B和C、D两地的实际距离分别为x和y，则：
1：5000＝1：x，
解得x＝5000，
1：20000＝1：y，
解得y＝20000，
∴x：y＝5000：20000＝1：4．
故选：C．
二．填空题
11．解：设A、B两城实际距离是xcm，则：
1：1
000
000＝1：x，
解得x＝1
000
000＝106，
故A、B两城实际距离是106cm．
故答案为：106．
12．解：第一个三角形的周长为K+2；
第二个三角形的周长K+K+K2＝K（K+2）；
第三个周长为K2+K2+K3＝K2（K+2）
…
所以第2008个三角形的周长为K2007（K+2）
13．解：观察图形，（1）与（4）形状相同，这两个图形中的斜线都是连接在一条直线上的三个正方形的相对的顶点，并且其中一个顶点是单独的一个正方形与成一条直线的三个正方形的公共顶点；
（3）是成一条直线的三个三角形中两个正方形的相对顶点的连线；
（2）是连接在一条直线上的相对的顶点，并且其中一个顶点是单独的一个正方形与成一条直线的三个正方形的不是公共顶点的连线．
∴图形中是（1）与（4）相似的．
14．解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴＝，
∵AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，
∴A′B′＝6×＝3．
故答案为：3．
15．解：∵两个相似三角形的一对对应边长分别为35cm和14cm，
∴其相似比为：5：2，
∴其面积比为：25：4，
设较大的三角形面积为25cm2，较小的三角形面积为4xcm2．
∵它们的面积差为588cm2，
∴25x﹣4x＝588，
解得：x＝28，
∴较大的三角形面积为700cm2．
故答案为：700cm2．
16．解：设B点坐标为（a，b），
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，
∵OA2﹣AB2＝8，
∴2AC2﹣2AD2＝8，即AC2﹣AD2＝4，
∴（AC+AD）（AC﹣AD）＝4，
∴（OC+BD）?CD＝4，
∵点B在第四象限，
∴a?b＝﹣4，
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
17．解：a：b：c＝2：3：4，得
a＝2x，b＝3x，c＝4x．
a﹣2b+3c＝20，得
2x﹣2×3x+3×4x＝20，
解得x＝，
a＝5，b＝，c＝10．
a+2b﹣3c＝5+2×5﹣3×10＝﹣10，
故答案为：﹣10．
18．解：∵AF：FD＝1：3
∴
作DG∥CE，交AB于点G
∵D是BC的中点
∴EC＝2DG
∴
∴EF＝DG
∴
∴AG＝4AE
∴EG＝BG＝3AE
∴AB＝7AE
∴AE：AB＝1：7．
19．解：∵将两个位似图形的边长同时扩大五倍，
∴其对应边的比为值不变，
∴其位似比也不变．
20．解：设旗杆高为x米，
∵人高：人影长＝旗杆高：旗杆影长，
∴170：85＝x：6，
解得：x＝12．
故答案为：12m．
三．解答题
21．解：设这个矩形的长为xm，宽为ym，则x+y＝2，
由题设得：＝，
解得：x＝﹣1，y＝3﹣，
经检验得出x＝﹣1，y＝3﹣，是原方程的解，
所以这个黄金矩形的面积为：＝（m2）．
22．解：本题答案不唯一，
如图中△DE′F′就是符合题意的一个三角形．
23．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE，AD＝CD，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE，
∵AD∥BG，
∴∠DAE＝∠G，
∴∠DCE＝∠G，
又∵∠CEF＝∠GEC，
∴△ECF∽△EGC；
（2）∵△ECF∽△EGC，
∴，即，
解得：EC＝，
由（1）知△ADE≌△CDE，
∴AE＝CE＝．
24．解：（1）①△FDB∽△FCE；
②△ABC∽△AED．
（2）△FDB∽△FCE．
证明：∵∠BDE+∠BCE＝180°，∠BCE+∠ECF＝180°，
∴∠BDE＝∠ECF，
又∵∠F＝∠F，
∴△FDB∽△FCE（有两对角对应相等的两个三角形相似）．
25．解：如图，测得AB长约10.5cm，换算成实际距离约为10.5×1000＝10500cm＝105m．
即A、B间的实际距离是105m．
26．证明：延长AE交BC于点M，延长AF交BC于点N
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠MEC＝90°，
∵∠ACE＝∠MCE，CE是公共边，
∴△AEC≌△MEC（ASA），
同理可证，△ABF≌△NBF，
∴AE＝EM，AF＝FN，
∴EF∥BC．
27．解：（1）作FG⊥BC于G，MH⊥CD于H，设FG交MH于点P，FG交MN于点Q，如图1所示：
则∠MHN＝∠FGE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形AMHD和四边形FGCD是矩形，
∴MH＝AD＝BC，FG＝CD＝AB，∠AMP＝∠DFG＝∠AFP＝90°，
∴四边形AMPF是矩形，
∴∠MPQ＝90°，
∵MN⊥EF，
∴∠FOQ＝∠MPQ＝90°，
∵∠MQP＝∠FQO，
∴△MQP∽△FQO，
∴∠HMN＝∠GFE，
∵∠MHN＝∠FGE，
∴△MHN∽△FGE，
∴＝＝＝＝2，
∴k＝2；
（2）∵BC＝2AB，
∴设AB＝a，则BC＝2a，
当MN∥BC时，MN最短为2a，
当MN与矩形ABCD的对角线重合时，MN最长为a，
当EF∥AB时，EF最短为a，
当EF与矩形ABCD的对角线重合时，EF最长为a，
∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大，最大值为：＝，
当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为：＝，
即k的最大值为，最小值为；
（3）∵MN与BD重合，
∴BD＝MN，
①当∠DOF＝90°时，作FG⊥BC于G，FG交MN于点Q，如图3所示：
则四边形ABGF为矩形，∠DOF＝∠FOQ＝∠QGB＝90°，
∴FG＝AB，
∵∠FQO＝∠BQG，
∴△FQO∽△BQG，
∴∠CBD＝∠GFE，
∵FG⊥BC，四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠FGE，
∴△CBD∽△GFE，
∴＝，
∴＝＝3，
∴＝3，
∴＝；
②当∠OFD＝90°时，如图4所示：
则四边形ABEF为矩形，
∴EF＝AB，
∵＝3，
∴＝3，
设AB＝a，则BD＝3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠A＝90°，
由勾股定理得：BC＝AD＝＝＝2a，
∴＝＝，
综上所述，AB：BC的值为或．