2020年华东师大版八年级上数学课件 12.3 乘法公式（第2课时）两数和（差）的平方（15张PPT）

12.3 乘法公式
第2课时 两数和（差）的平方
九江一中 数学组
完全平方公式
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= ；
p2+2p+1
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= ；
m2+4m+4
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= ；
p2-2p+1
（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a+b）2= .
a2+2ab+b2
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.
这个公式叫做两数和的平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”.
公式特征：
4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式或多项式.
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍；
完全平方公式
a
2
b
2
ab
ab
a
b
a+b
a+b
a
b
a
2
ab
ab
b
2
(a+b)
2
=
a
2
+
2ab
+
b
2
(a+b)2
a2 + 2ab + b2
=
【试一试】
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
【例1】 计算：
(1)(2x+3y)2;
解：（1）(2x+3y)2
=(2x)2+2?2x?3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2.
【试一试】
推导两数差的平方公式（a-b）2.
注意a-b=a+(-b)，也可以利用两数和的平方公式来计算.
这样就得到了两数差的平方公式：
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
这就是说，两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
【例2 】计算：
(1)(3x-2y)3;
解：（1）(3x-2y)2=(3x)2-2?3x?2y+(2y)2=9x2-12xy+4y2.
【思考】
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a-b)2与a2-b2相等吗?
为什么?
(a+b)2与(-a-b)2相等.理由如下：
(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.
(a-b)2与(b-a)2相等.理由如下：
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2.
(a-b)2与a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.
(1) 1022；
解： 1022
= (100+2)2
=10 000+400+4
=10 404.
(2) 992.
992
= (100 –1)2
=10 000 -200+1
=9801.
1.运用完全平方公式计算：
技巧：利用完全平方公式计算时，先根据式子的特点选择公式，再准确代入公式，最后进行化简.
2. 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
解:(1)
(2)原式= [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
解题技巧：第(1)题选用平方差公式进行计算，需要分组，分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第(2)题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
3.若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.
4.已知x+y=8，x-y=4，求xy.
解：∵a+b=5，ab=-6，
∴a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①.
∵x-y=4， ∴(x-y)2=16，即x2+y2-2xy=16②.
①-②，得
4xy=48，
∴xy=12.
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式要求的
常用
结论
3.明确完全平方公式和平方差公式的区别（从公式结构特点及结果两方面区分）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2
课堂总结