2020年华东师大版八年级上数学课件 12.5 因式分解（第2课时） （16张PPT）

12.5 因式分解
第2课时 公式法
九江一中 数学组
平方差公式因式分解
多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式.
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
√
√
×
×
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2-( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2；
（2）x2-y2；
（3）-x2-y2；
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2；
（5）x2-25y2；
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1.
(m+1)(m-1)
【例1】 分解因式：
解：(1)原式=
(2)原式
解题技巧：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式分解因式.
【例2】 分解因式：
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
＝(x2+y2)(x+y)(x-y).
(2)原式＝ab(a2-1)
分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法，最后进行检查.
＝ab(a+1)(a-1).
运用完全平方公式因式分解
完全平方公式:
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
=（a ± b）2
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)?
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
3.a?+4ab+4b?=( )?+2· ( ) ·( )+( )?=( )?
2.m?-6m+9=( )? - 2· ( ) ·( )+( )? =( )?
1.x?+4x+4= ( )? +2·( )·( )+( )? =( )?
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照公式a?±2ab+b?=(a±b)?进行因式分解，你会吗？
m
m - 3
3
x
2
m
3
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a?;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）只有两项；
不是
（3）4b?与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）ab不是a与b的积的2倍.
【例3 】分解因式：
（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2，9=3?，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9=
(4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
2
a
b
b2
a2
(2)中，首项有负号，一般先利用添括号法则将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2.
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
(2)-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
=-[x2-2·x·2y+(2y)2]
【例4】 分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2.
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；
(2)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
【例5】 把下列完全平方公式分解因式：
1002－2×100×99+99?
解：原式=（100－99)?
=1.
本题利用完全平方公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确.
2.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2；
(2) (a+b)2-(a-b)2 ；
(3) 9xy3-36x3y ；
(4) -a4+16.
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
9xy(y+2x)(y-2x)
(4+a2)(2+a)(2-a)
1.多项式4a?+ma+9是完全平方式，那么m的值是（ ）
A.6 B.12 C. －12 D. ±12
D
解：原式
4.计算：
5.分解因式：
解：原式
3.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36； （2）4a2-4a+1.
解：(1)原式 =x2－2·x·6+62=（x－6）2.
(2)原式=（2a）? － 2·2a·1+1?=（2a － 1）2.
公式法
因式分解
公式
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
课堂总结