2020年华东师大版八年级上数学课件 第12章整式的乘除 复习课 （24张PPT）

第12章
总复习课
九江一中 数学组
【例1】 计算：
（1）(2a)3(b3)2÷4a3b4； （2）(-8)2018 ×0.1252017.
【解析】（1）幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除；
（2）可以先用同底数幂的乘法的逆运算，将
（-8）2018 化为（-8） ×（-8）2017，再用积的乘方的
性质的逆运算进行计算.
解：（1）原式=8a3b6 ÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.
（2）原式=（-8）×（-8）2017 ×0.1252017
=（-8）×[（-8） ×0.125]2017
=（-8）×（-1）2017=8.
幂的运算性质
1.下列计算不正确的是（ ）
A.2a3÷a=2a2 B. (-a3)2=a6
C. a4 ·a3=a7 D. a2 ·a4=a8
D
【练习】
【归纳总结】 幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章，是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.
2. 计算：0.252017 ×（-4）2017-8100 ×0.5301.
解：原式=[0.25 ×（-4）]2017-（23）100 ×0.5300 ×0.5
=-1-（2 ×0.5）300 ×0.5
=-1-0.5
=-1.5.
解：∵420=（42）10=1610，
1610>1510,
∴420>1510.
3. 比较大小：420与1510.
【例2】 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
【解析】计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算时，一要注
意运算顺序；二要熟练、正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
= .
当x=1,y=3时，原式= .
整式的运算
【归纳总结】整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则.
整式的混合运算要按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序进行，有括号的要先算括号里的.
4.一个长方形的面积是a2-2ab+a，宽为a，则长方形的长
为 .
5.已知多项式2x3-4x2-x除以一个多项式A，得商为2x，则这个多项式是 .
a2-2b+1
【练习】
【例3】 先化简，再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x，其中
x=3，y=1.5.
【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号内的，再
进行整式的除法运算.
解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x
=(2x2-2xy) ÷2x
=x-y.
当x=3，y=1.5时，原式=3-1.5=1.5.
整式的乘法公式的运用
【归纳总结】整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.
6.求方程(x-1)2-(x-1)(x+1)+3(1-x)=0的解.
解：∵x2+9y2+4x-6y+5=0,
∴(x2+4x+4)+(9y2-6y+1)=0，
∴(x+2)2+(3y-1)2=0.
∴x+2=0，3y-1=0，解得x=-2, y= ,
∴
7.已知x2+9y2+4x-6y+5=0,求xy的值.
解：原方程可化为-5x+5=0，解得x=1.
【练习】
【例4 】 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：
(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a; (2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;
(3)x2-6x+9=(x-3)2; (4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.
解：（1）不是.理由：最后不是做乘法运算，不是积的形式.
（2）不是.理由：从左到右是做乘法运算.
（3）是.
（4）不是.理由：3x2-2xy+x=x(3x-2y+1).
【解析】（1）因式分解的定义包括两点：一是等式的左边是一
个多项式；二是等式的右边要化成几个整式乘积的形
式，即等式的整个右边化成积的形式；
（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.
因式分解
【归纳总结】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算.
分解因式的方法主要是提公因式法和公式法.因式分解时，一般先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.
8.下列变形，是因式分解的是（ ）
A. a(x+y)=ax+ay
B. x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1)
C. am2-a=a(m+1)(m-1)
D. m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3
C
【练习】
【例5 】计算：(1)-2a·3a2b3· ( ; (2)（-2x+5+x2）·（-6x3）.
【解析】(1)单项式乘以单项式可以转化为有理数的乘法和同
底数幂的乘法；
(2)多项式乘以单项式可以转化为单项式乘以单项式.
解：（1）原式=
（2）原式=（-2x）·（-6x3）+5·（-6x3）+x2·（-6x3）
=12x4-30x3-6x5.
数学思想和解题方法
转化思想
【归纳总结】将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数学中常用的思想方法.如本章中，多项式×多项式 单项式×多项式 单项式×单项式 有理数的乘法和同底数幂的乘法.
9.计算：（4a-b）?（-2b）2．.
解： 原式=（4a-b）?4b2=16ab2-4b3．
【练习】
【例6】 若2a+5b-3=0，则4a·32b= .
【解析】由2a+5b-3=0，无法求出a，b的值，因此可以逆用积
的乘方先把4a·32b化简为含有与已知条件相关的部分，
即4a·32b=22a·25b=22a+5b.把2a+5b看作一个整体，因为
2a+5b-3=0，所以2a+5b=3，所以4a·32b=23=8.
8
整体思想
【归纳总结】在本章中，应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代数式看作一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题，可以简化计算过程，且不易出错.
10.若xn=5，则（x3n）2-5（x2）2n= .
12 500
11.若x+y=2，则 = .
2
【练习】
【例7】 如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，可验证的公式是 .
b
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a-b
a2-b2=(a+b)(a-b)
数形结合思想
【归纳总结】本章中，数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形. 由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼接，往往是相等的边拼到一起．
12.我们已知道完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表 示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，如（2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2，就可以用图①和图②等图形的面积表示.
a
a
a
b
b
ab
ab
ab
a2
a2
b2
图①
b2
a2
a2
ab
ab
ab
a
a
a
b
b
图②
【练习】
（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示（a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.
（1）请写出图③所表示的代数恒等式；
b
b
a
a
b
a
ab
ab
ab
ab
ab
a2
a2
b2
b2
图③
解：(1) (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2.
(2)如图④.
图④
a2
b
a
ab
ab
ab
ab
b2
b2
b2
13.图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．
(1)求出图①的长方形面积；
(2)将四块小长方形拼成如图②所示的正方形，利用阴影部
分面积的不同表示方法，直接写出代数式(a＋b)2、(a－b)2、
ab之间的等量关系．
解：(1)(a＋a)(b＋b)＝4ab.
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab.
幂的运算
乘法公式
整式的乘除
积的乘方
平方差公式
多项式与单项式相乘、相除
完全平方公式
整式的乘除法
单项式与单项式相乘、相除
多项式与多项式相乘
同底数幂相乘
幂的乘方
同底数幂相除
因式分解
提公因式法
公式法
课堂总结