人教版数学九年级上册 22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 课件（共34张PPT）

第二十二章 二次函数
人教版数学九年级上册
22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质
学习目标
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
导入新知
火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？
我们已经知道 y=a(x-h)2+k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？
合作探究
配方可得
怎样将 化成 y=a(x-h)2+k 的形式？
你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
对称轴是直线 x=6，顶点坐标是(6，3).
二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
平移方法 1：
先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的；
平移方法 2：
先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的.
1.描点法：
①用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成 y=a(x-h)2+k 的形式；
②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，在对称轴两侧对称取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线.
画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的方法
画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的方法
2.平移法
①用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成 y=a(x-h)2+k 的形式，明确顶点 (h，k)；
②作出抛物线 y=ax2；
③将抛物线 y=ax2 平移，使其顶点平移到 (h，k) 处.
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
先利用图形的对称性列表.
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
?
画出二次函数 的图象.
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图象如图.
O
画出二次函数 的图象.
结合二次函数 的图象，说出其性质.
5
10
x
y
5
10
x=6
当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大.
O
?
?
?
?
?
典型例题
我们如何用配方法将一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 化成顶点式 y=a(x-h)2+k？
合作探究
y=ax?+bx+c
一般地，二次函数 y=ax2+bx+c 可以通过配方法化成 y=a(x-h)2+k 的形式，即
因此，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：
直线
x
y
O
如果 a>0，
当 x< 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x> 时，y 随 x 的增大而增大.
x
y
O
如果 a<0，
当 x< 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x> 时，y 随 x 的增大而减小.
已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题：
(1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数 y=-2x2+4x+3 的图象，并指出抛物线 y=-2x2+4x+3 是由抛物线y=-2x2 经过怎样的平移得到的；
(3)对于二次函数 y=-2x2+4x+3，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
判断抛物线 y=ax2 经过怎样的平移能得到抛物线 y=ax2+bx+c 时，通常先将 y=ax2+bx+c 配成y=a(x-h)2+k 的形式，再根据“左加右减自变量，上加下减常数项”判断平移方式，或者根据顶点的位置确定平移方式.
典型例题
技巧
x
y
O
二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在y轴左侧，
对称轴在y轴右侧，
x=0时，y=c.
合作探究
x
y
O
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
?
?
x=0时，y=c.
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 a，b，c 的关系
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}字母符号
图象的特征
a＞0
开口__________
a＜0
开口__________
b=0
对称轴为_____轴
a，b同号
对称轴在y轴的____侧
a，b异号
对称轴在y轴的____侧
c=0
经过原点
c＞0
与y轴交于_____半轴
c＜0
与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
二次函数 y=ax2+bx+c 中，a 的符号决定抛物线的开口方向，a，b 的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c 的符号决定抛物线与 y 轴交点的大致位置.
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象特征与系数 a，b，c 的符号之间的关系是互逆的，即由字母的符号能确定图象的特征，反之，根据图象的特征，也可以确定其解析式 y=ax2+bx+c 中系数 a，b，c的符号.
A.1 B.2 C.3 D.4
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：①b<0；②c>0；③a+b+c>0；④4a+2b+c<0.其中正确的个数是( )
C
解：①因为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的开口方向是向下，所以 a＜0，
根据对称轴在 y 轴的右侧，所以a，b的符号相反，得出b＞0，故①错误；
②因为二次函数 y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，所以c＞0，故②正确；
③根据图象知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故③正确；
④根据图象知，当x=2时，y < 0，∴4a+2b+c<0，故④正确；
综上所述，正确结论共3个，故选C．
典型例题
1.若A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(3，y3)为二次函数 y=x2+2x-6 的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
B
A. y1解：因为A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(3，y3)为二次函数y=x2+2x-6的图象上的三点，
y2=9-6-6=-3，即 y2=-3，
y3=9+6-6=9，即 y3=9，
因为-3＜2＜9，所以y2＜y1＜y3．
所以 y1=16-8-6=2，即 y1=2，
课堂练习
比较二次函数值大小的方法：
(1)代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将几个点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求出对应的函数值，再比较函数值的大小；
(2)增减性比较法：当点都在对称轴的同侧时，可直接根据函数的增减性比较大小，当点不在对称轴的同侧时，可利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再利用增减性比较大小；
(3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线的开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大，当抛物线的开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小.
2.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 3 个单位长度，再作关于 x 轴对称的图象，得到抛物线 y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式为( )
B
?
?
3.分别在下列范围内求函数 y=x2-2x-3 的最大值和最小值.
(1) -1≤x≤2; (2) 2≤x≤3.
解：因为 y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
所以当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小，
当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大.
(1)由 -1≤x≤2 知，当 x=1时，y 有最小值 -4，
因为当 x=-1 时，y=0，当 x=2 时，y=-3，
所以当 x=-1 时，y 有最大值 0.
(2)当 2≤x≤3时，y 随 x 的增大而增大，
所以当 x=2 时，y 有最小值 -3，当 x=3 时，y 有最大值 0.
求二次函数的最值时，要先确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大(小)值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数的增减性确定最值.
A.图象与 y 轴的交点坐标为(0，1) B.图象的对称轴在 y 轴的右侧
C.当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小 D. y 的最小值为 -3
1.关于二次函数 y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( )
D
解：因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3，
所以当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确.
中考实题
A. y3>y2>y1 B. y3>y1=y2 C. y1>y2>y3 D. y1=y2>y3
2.点P1(-1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数 y=-x2+2x+c 的图象上，则y1，y2，y3 的大小关系是( )
D
解：因为 y=-x2+2x+c=-(x-1)2+1+c，
所以图象的开口向下，对称轴是直线x=1，
而P1(-1，y1)和P2(3，y2)到直线x=1的距离都为2，P3(5，y3)到直线x=1的距离为4，
所以y1=y2＞y3．
故选D．
A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.③④⑤
3.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，有下列 5 个结论：
①abc>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④3a>-c；⑤a+b>m(am+b)(m≠1).
其中正确的结论有( )
解：①因为对称轴在y轴的右侧，所以ab＜0，由图象可知c＞0，
所以abc＜0，故①不正确；
②当x=-1时，y=a-b+c＜0，所以b-a＞c，故②正确；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故③正确；
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
归纳新知
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
?
?
?
?
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质：
x=
?
A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.③④⑤
已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，有下列 5 个结论：
①abc>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④3a>-c；⑤a+b>m(am+b)(m≠1).
其中正确的结论有( )
B
再 见