人教版数学九年级上册 24.4 弧长和扇形面积 课件（共30张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级上册 24.4 弧长和扇形面积 课件（共30张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-19 23:53:11 | ||
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文档简介
第二十四章 圆的有关性质
人教版数学九年级上册
24.4 弧长和扇形面积
1.理解弧长和扇形面积公式，会计算圆的弧长和扇形面积，能解决简单的问题.
2.通过弧长和扇形面积公式的推导过程，提高分析问题、解决问题的能能力.
学习目标
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的一端拴着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？
（2）如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？
导入新知
?
?
?
?
下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
合作探究
?
?
?
1.题目中若没有写明精确度，可用含 π 的代数式表示弧长，如弧长为 3π，11π 等.
2. 公式中的n和180表示倍数关系，没有单位.
3.不要混淆弧长相等和弧相等，弧相等指两条弧全等，弧长相等指弧的长度相等.弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才是等弧.
例 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度L≈2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度约为2970mm．
?
已知扇形的圆心角为120°，弧长为10π cm，则该扇形的半径为 cm.
15
?
典型例题
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
如图，劣弧AB与半径OA，OB围成的图形记作扇形OAB；
优弧AB与半径OA，OB围成的图形记作扇形OACB.
合作探究
下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
?
?
?
?
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
扇形面积公式中的“n”和弧长公式中的“n”一样，表示“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位.
圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大.
圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关， 圆心角越大，面积越大.
扇形的面积与哪些因素有关？
O
A
B
D
C
E
F
●
O
A
B
C
D
●
扇形的面积与圆心角、半径有关.
扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
A
B
O
O
扇形的面积公式与什么公式类似？
(1) 截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
例 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01m）
(2) 水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O于C.
例 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01m）
(3) 要求图中阴影部分的面积，应该怎么算？
阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积
?
∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3，
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60?, ∠AOB=120?.
有水部分的面积：S＝S扇形OAB - SΔOAB
?
由弦及弦所对的弧组成的图形叫做弓形.
(1) 已知扇形的半径为6 cm,面积为6π cm2，则该扇形的圆心角的度数为 .
(2) 一个扇形的圆心角为135° ，弧长为3π cm，则此扇形的面积是 cm2.
60°
6π
?
典型例题
1.如图，实线部分是由两条等弧组成的游泳池，且这两条弧所在的圆的半径均为15 m.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是 m.
40π
?
课堂练习
2.如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45 cm， CO=5 cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的区城(阴影部分)的面积为 cm2(结果保留π).
500π
?
在求解阴影部分面积的问题中，如果所求的阴影部分是不规则图形，可以采取各种方法，将阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式.与圆有关的阴影部分面积的问题，往往需要利用扇形面积公式或弓形面积的计算公式.
不规则图形面积的求解方法
3.如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D,E.若∠A=60°,BC=4,则图中阴影部分的面积为______ (结果保留 π).
?
?
弧长
计算公式：
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
归纳新知
?
D
?
中考实题
2.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线 l 上，将矩形ABCD沿直线 l 作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1的位置时，则点A经过的路线长为 .
?
?
如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线 l 上，将矩形ABCD沿直线 l 作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1的位置时，则点A经过的路线长为 .
6π
3.如图，AB为⊙O的直径，AC,DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.
(1) 求证：DP是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积.
解：(1) 如图，连接OD.
因为∠ACD=60°，所以∠AOD=2∠ACD=120°,
所以∠DOP=180°-120°=60°.
因为∠APD=30°，所以∠ODP=180°-30°-60°=90°,
所以OD⊥DP.
又OD为⊙O的半径，所以DP是⊙O的切线.
?
如图，AB为⊙O的直径，AC,DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.
(1) 求证：DP是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积.
再 见
人教版数学九年级上册
24.4 弧长和扇形面积
1.理解弧长和扇形面积公式，会计算圆的弧长和扇形面积，能解决简单的问题.
2.通过弧长和扇形面积公式的推导过程，提高分析问题、解决问题的能能力.
学习目标
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的一端拴着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？
（2）如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？
导入新知
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下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
合作探究
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1.题目中若没有写明精确度，可用含 π 的代数式表示弧长，如弧长为 3π，11π 等.
2. 公式中的n和180表示倍数关系，没有单位.
3.不要混淆弧长相等和弧相等，弧相等指两条弧全等，弧长相等指弧的长度相等.弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才是等弧.
例 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度L≈2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度约为2970mm．
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已知扇形的圆心角为120°，弧长为10π cm，则该扇形的半径为 cm.
15
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典型例题
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
如图，劣弧AB与半径OA，OB围成的图形记作扇形OAB；
优弧AB与半径OA，OB围成的图形记作扇形OACB.
合作探究
下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
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O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
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n°
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
扇形面积公式中的“n”和弧长公式中的“n”一样，表示“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位.
圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大.
圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关， 圆心角越大，面积越大.
扇形的面积与哪些因素有关？
O
A
B
D
C
E
F
●
O
A
B
C
D
●
扇形的面积与圆心角、半径有关.
扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
A
B
O
O
扇形的面积公式与什么公式类似？
(1) 截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
例 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01m）
(2) 水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O于C.
例 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01m）
(3) 要求图中阴影部分的面积，应该怎么算？
阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积
?
∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3，
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60?, ∠AOB=120?.
有水部分的面积：S＝S扇形OAB - SΔOAB
?
由弦及弦所对的弧组成的图形叫做弓形.
(1) 已知扇形的半径为6 cm,面积为6π cm2，则该扇形的圆心角的度数为 .
(2) 一个扇形的圆心角为135° ，弧长为3π cm，则此扇形的面积是 cm2.
60°
6π
?
典型例题
1.如图，实线部分是由两条等弧组成的游泳池，且这两条弧所在的圆的半径均为15 m.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是 m.
40π
?
课堂练习
2.如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45 cm， CO=5 cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的区城(阴影部分)的面积为 cm2(结果保留π).
500π
?
在求解阴影部分面积的问题中，如果所求的阴影部分是不规则图形，可以采取各种方法，将阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式.与圆有关的阴影部分面积的问题，往往需要利用扇形面积公式或弓形面积的计算公式.
不规则图形面积的求解方法
3.如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D,E.若∠A=60°,BC=4,则图中阴影部分的面积为______ (结果保留 π).
?
?
弧长
计算公式：
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
归纳新知
?
D
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中考实题
2.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线 l 上，将矩形ABCD沿直线 l 作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1的位置时，则点A经过的路线长为 .
?
?
如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线 l 上，将矩形ABCD沿直线 l 作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1的位置时，则点A经过的路线长为 .
6π
3.如图，AB为⊙O的直径，AC,DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.
(1) 求证：DP是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积.
解：(1) 如图，连接OD.
因为∠ACD=60°，所以∠AOD=2∠ACD=120°,
所以∠DOP=180°-120°=60°.
因为∠APD=30°，所以∠ODP=180°-30°-60°=90°,
所以OD⊥DP.
又OD为⊙O的半径，所以DP是⊙O的切线.
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如图，AB为⊙O的直径，AC,DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.
(1) 求证：DP是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积.
再 见
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