相似三角形的判定4(AA)

(共12张PPT)
（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，
那么△ACD与△ABC相似吗？
理由：∵AC2=AD AB
又∠A=∠A
（2）如图,△ABC中,点D在AB上,如果AC2=AD AB,那么△ACD与△ABC相似吗？
说说你的理由．
相似三角形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
相似
解：相似
∴△ACD∽△ABC
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
（4）【归纳】
如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
在线段A1B1上截取A1D=AB,过点D作DE‖B1C1，交A1C1于点E，
则∠A1DE=∠B1
∵DE‖B1C1
∴△A1DE∽△A1B1C1
又∠B=∠B1
∴∠B=∠A1DE
又∠A=∠A1，A1D=AB
∴△A1DE≌△ABC
∴△ABC∽△A1B1C1
已知：
求证：
证明：
三角形相似的判定方法3
△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1，∠B=∠B1
△ABC∽△A1B1C1
请同学们试证明此定理。
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
A
B
C
D
P
O
分析：要证PA PB=PC PD，需要证:
证明：连接AC、BD
例1（教材P48例2)弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证: PA PB=PC PD.
则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．
∴PA PB=PC PD
∴∠CAB=∠CDB
同理：∠ACD=∠ABD
∴△PAC∽△PDB
∵∠CAB、∠CDB都是弧CB所对的圆周角
例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD‖BC，∠B=900
∴∠DAE=∠AEB
∴△AFD∽△EBA
又AB=4，AD=5，AE=6
∵DF⊥AE
∴∠DFA=∠B=900
A
B
D
C
图 3
D
A
B
C
E
图 4
1 、填一填
★（1）如图3，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时，
△ACD∽△ABC。
★（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件
，就可以使△ADE
与原△ABC相似。
2．下列说法是否正确，并说明理由．
★（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形.（ ）
★★（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．（ ）
ACD（ADC）
B（ACB）
∠AED=∠B或∠ADE=∠C或DE‖BC
√
×
★3.如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
证明：∵DE∥BC，EF∥AB
∴∠AED=∠C ∠A=∠FEC，
∴△ADE∽△EFC
★★ 4．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
证明：∵∠1=∠3
∴△ABC∽△ADE
∴∠C=∠E
∵∠2=∠3，∠DOC=∠AOE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠1+∠DAC=∠3+∠DAC
★★★5．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：AC BC=BE CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
（1）证明：连接EC
∵∠BAC，∠BEC都是劣弧BC所对的圆周角
∴∠BAC=∠BEC
∵CD是△ABC的高
∵BE为圆O的直径
则∠CDA=∠BCE
∴△ACD∽△EBC
（2）解：在Rt△CBD中，CD=6，BD=8
在Rt△ACD中，CD=6，AD=3
∴ AC BC=BE CD
★★★★6、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D ，若E是线段BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，求证：AB : BC=DF : BF.
A
B
D
C
E
F
证明：∵BD⊥AC
∴∠DBC=∠DAB
∴△ABD∽△BCD
∵在Rt△ BCD中，点E为线段BC的中点
∴DE=BE
∴∠EDB=∠DBE
∴∠FBD=∠FDA
又∠F=∠F
∴△FAD∽△FDB
即 AB : BC=DF : BF
∟
作业：课本48练习第2题