周练卷(一)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是( )
A．红豆生南国
B．春来发几枝
C．愿君多采撷
D．此物最相思
2．命题“若x>1，则x>－1”的否命题是( )
A．若x>1，则x≤－1
B．若x≤1，则x>－1
C．若x≤1，则x≤－1
D．若x<1，则x<－1
3．命题“已知a，b都是实数，若a＋b>0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
4．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
6．“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集．②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数．④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0；⑥作△ABC≌△A1B1C1.其中是命题的是________，是真命题的是________(填序号)．
8．命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．
9．直线l：x－y＋m＝0与圆C：(x＋1)2＋y2＝2有公共点的充要条件是________．
10．在下列各项中选择一项填空：
①充分不必要条件；
②必要不充分条件；
③充要条件；
④既不充分也不必要条件．
(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；
(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数”的________．
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(15分)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)垂直于同一平面的两条直线平行；
(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．
12.(15分)指出下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)在△ABC中，p：sinA>，q：A>.
13．(20分)设数列{an}的各项都不为零，求证：对任意n∈N
且n≥2，都有＋＋…＋＝成立的充要条件是{an}为等差数列．周练卷(一)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是( )
A．红豆生南国
B．春来发几枝
C．愿君多采撷
D．此物最相思
2．命题“若x>1，则x>－1”的否命题是( )
A．若x>1，则x≤－1
B．若x≤1，则x>－1
C．若x≤1，则x≤－1
D．若x<1，则x<－1
3．命题“已知a，b都是实数，若a＋b>0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
4．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
6．“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集．②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数．④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0；⑥作△ABC≌△A1B1C1.其中是命题的是________，是真命题的是________(填序号)．
8．命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．
9．直线l：x－y＋m＝0与圆C：(x＋1)2＋y2＝2有公共点的充要条件是________．
10．在下列各项中选择一项填空：
①充分不必要条件；
②必要不充分条件；
③充要条件；
④既不充分也不必要条件．
(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；
(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数”的________．
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(15分)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)垂直于同一平面的两条直线平行；
(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．
答案
1．A 本题考查命题的概念．“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.
2．C 本题考查否命题．原命题的否命题是对条件“x>1”和结论“x>－1”同时否定，即“若x≤1，则x≤－1”，故选C.
3．C 本题考查四种命题之间的关系及命题真假性的判断．逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b>0”为假命题．又原命题的否命题与逆命题有相同的真假性，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题．故选C.
4．C 本题主要考查充要条件的判断．∵x>1，∴x3>1.又x3－1>0，即(x－1)(x2＋x＋1)>0，解得x>1，∴“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.
5．B 本题考查命题真假性的判断．对于①，Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；对于②，由不等式的性质知②为真命题；对于③，等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形，所以③是假命题；对于④，由等式的性质知④是真命题，故选B.
6．B 本题综合考查函数零点与充分条件、必要条件的判断．当a＝－1时，函数f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.
7．①③⑤ ⑤
解析：本题考查命题的概念及命题真假性的判断．①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，因为0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0恒成立，所以⑤是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．
8．真
解析：本题考查否命题及命题真假性的判断．原命题的否命题是“若实数a满足a>2，则a2≥4”，这是一个真命题．
9．m∈[－1,3]
解析：本题考查直线与圆的位置关系以及充要条件的知识．直线l与圆C有公共点?≤?|m－1|≤2?－1≤m≤3.
10．(1)③ (2)①
解析：本题考查充分条件、必要条件的判断．(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．
(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|
在上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数”的充分不必要条件．
11．解：(1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．
否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．
逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．
(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn<0.
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.
————————————————————————————
12.(15分)指出下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)在△ABC中，p：sinA>，q：A>.
13．(20分)设数列{an}的各项都不为零，求证：对任意n∈N
且n≥2，都有＋＋…＋＝成立的充要条件是{an}为等差数列．
答案
12.解：(1)因为|x|＝|y|?x＝y或x＝－y，但x＝y?|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
(2)因为A∈(0，π)时，sinA∈(0,1]，且A∈时，y＝sinA单调递增，A∈时，y＝sinA单调递减，所以sinA>?A>，但A>
sinA>.
所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
13．证明：(充分性){an}为等差数列，设其公差为d.
若d＝0，则a1＝a2＝…＝an，
所以＋＋…＋＝.
若d≠0，则＋＋…＋＝
＝＝＝.
(必要性)若＋＋…＋＝，则＋＋…＋＋＝，两式相减，得＝－
?a1＝nan－(n－1)an＋1， ①
于是有a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2， ②
由①②，得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，
所以an＋1－an＝an＋2－an＋1(n≥2)．
又由＋＝?a3－a2＝a2－a1，
所以对任意n∈N
,2an＋1＝an＋2＋an，故{an}为等差数列．
