第一章单元评估卷
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列语句是命题的是( )
A．一个实数的平方是否大于这个数
B．庆祝共和国成立60周年
C．数学是一门社会科学
D．H1N1具有传染性吗
2．命题：“存在数列{an}，{bn}既是等差数列又是等比数列”( )
A．是特称命题并且是真命题
B．是全称命题并且是假命题
C．是特称命题并且是假命题
D．是全称命题并且是真命题
3．已知命题p“?x∈R，x2－2x＋2≤sinx”，则命题p的否定是( )
A．不存在x∈R，x2－2x＋2>sinx
B．?x∈R，x2－2x＋2≥sinx
C．?x∈R，x2－2x＋2>sinx
D．?x∈R，x2－2x＋2>sinx
4．与命题“若a∈M，则b?M”等价的命题是( )
A．若a?M，则b?M
B．若b?M，则a∈M
C．若b∈M，则a?M
D．若a?M，则b∈M
5．下列四个选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a>b，q：a2>b2
B．p：a>b，q：2a>2b
C．p：α＝，q：tanα＝1
D．p：x2>4，q：x>3
6．命题“若A?B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
A．0
B．2
C．3
D．4
7．已知p：<0，q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的( )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．对于命题“我们班学生都是团员”，给出下列三种否定：
①我们班学生不都是团员；
②我们班有学生不是团员；
③我们班学生都不是团员．
正确答案的序号是( )
A．①②
B．①②③
C．①③
D．②③
9．在△ABC中，“||≠||”是“·≠·”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．已知：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，其中m?α，n?β.命题p：若α∥β，则m∥n的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．4个
11．对于下列命题：①?x∈R，－1≤sinx≤1；②?x∈R，sin2x＋cos2x>1.下列判断正确的是( )
A．①假②真
B．①真②假
C．①②都假
D．①②都真
12．设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数．
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．( )
A．命题①和命题②都成立
B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立
D．命题①不成立，命题②成立
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．命题“?x∈{正实数}，使
14.若M，N为非空集合，且M≠N，则“a∈M或a∈N”是“a∈(M∩N)”的____________条件．
15．①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
16．已知点P是△ABC所在平面内一点，且＝λ＋μ，那么S△BCP＝S△ABC的充要条件是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)当c<0时，若ac>bc，则a18．(12分)指出下列命题的形式(“p∧q”、“p∨q”或“綈p”)及其构成，并判断命题的真假．
(1)方程x2＋x－1＝0没有实数根；
(2)若63既是3的倍数又是2的倍数，则63是6的倍数；
(3)若直线l平行于平面α或直线l与平面α相交，则直线l在平面α外．
19.(12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
20．(12分)求证：“a<”是“方程x2＋x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件．
21.(12分)已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，求：
(1)方程有两个正根的充要条件；
(2)方程至少有一个正根的充要条件．
22．(12分)已知函数f(x)＝4sin2－2cos2x－1.给定p：x<或x>，x∈R；q：－2第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列语句是命题的是( )
A．一个实数的平方是否大于这个数
B．庆祝共和国成立60周年
C．数学是一门社会科学
D．H1N1具有传染性吗
2．命题：“存在数列{an}，{bn}既是等差数列又是等比数列”( )
A．是特称命题并且是真命题
B．是全称命题并且是假命题
C．是特称命题并且是假命题
D．是全称命题并且是真命题
3．已知命题p“?x∈R，x2－2x＋2≤sinx”，则命题p的否定是( )
A．不存在x∈R，x2－2x＋2>sinx
B．?x∈R，x2－2x＋2≥sinx
C．?x∈R，x2－2x＋2>sinx
D．?x∈R，x2－2x＋2>sinx
4．与命题“若a∈M，则b?M”等价的命题是( )
A．若a?M，则b?M
B．若b?M，则a∈M
C．若b∈M，则a?M
D．若a?M，则b∈M
5．下列四个选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a>b，q：a2>b2
B．p：a>b，q：2a>2b
C．p：α＝，q：tanα＝1
D．p：x2>4，q：x>3
6．命题“若A?B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
A．0
B．2
C．3
D．4
7．已知p：<0，q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的( )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．对于命题“我们班学生都是团员”，给出下列三种否定：
①我们班学生不都是团员；
②我们班有学生不是团员；
③我们班学生都不是团员．
正确答案的序号是( )
A．①②
B．①②③
C．①③
D．②③
9．在△ABC中，“||≠||”是“·≠·”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．已知：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，其中m?α，n?β.命题p：若α∥β，则m∥n的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．4个
11．对于下列命题：①?x∈R，－1≤sinx≤1；②?x∈R，sin2x＋cos2x>1.下列判断正确的是( )
A．①假②真
B．①真②假
C．①②都假
D．①②都真
12．设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数．
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．( )
A．命题①和命题②都成立
B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立
D．命题①不成立，命题②成立
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．命题“?x∈{正实数}，使答案
1．C 根据命题是能判断真假的语句，因此是命题的是C.
2．A 存在非零常数数列既是等差数列又是等比数列，因此该命题是特称命题并且是真命题．故选A.
3．C 本题考查全称命题的否定．全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选C.
4．C 本题考查四种命题的关系．原命题与它的逆否命题互为等价命题．命题“若a∈M，则b?M”的逆否命题为“若b∈M，则a?M”，故选C.
5．D A中p是q的既不充分也不必要条件；B中p是q的充要条件；C中p是q的充分不必要条件，故选D.
6．B 本题是从集合的角度考查四种命题，利用四种命题的定义写出逆命题、否命题、逆否命题，然后判断其真假．
7．C 本题主要考查充分、必要条件的判断．不等式<0的解集为{x|x<－2}，则綈p：x≥－2.又q：x>－2，故綈p
q，q?綈p，故选C.
8．A
9．C 本题主要考查平面向量的数量积及充分、必要条件的判断.·＝·?·－·＝0?·(＋)＝0，则AB与AB边上的中线垂直，即△ABC为等腰三角形，且AC＝BC，因此·＝·?||＝||.由原命题与逆否命题有相同的真假性，知||≠||?·≠·，即“||≠||”是“·≠·”的充要条件，故选C.
10．A 原命题为假命题；逆命题：若m∥n，则α∥β，为假命题；否命题：若α不平行于β，则m不平行于n，为假命题；逆否命题：若m不平行于n，则α不平行于β，为假命题．
11．B 根据－1≤sinx≤1，有①成立；sin2x＋cos2x＝1，②不成立，故选B.
12．A 本题结合新定义考查充要条件的判断及命题真假性的判断．由题意，d(A，B)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)≥0，对于命题①，A＝B?card(A∪B)＝card(A∩B)?d(A，B)＝0，∴A≠B?d(A，B)>0，命题①成立．对于命题②，由韦恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)?
card(A)＋card(C)－2card(A∩C)≤card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)?
card(A∩C)≥card(A∩B)＋card(B∩C)－card(B)
?card(A∩C)≥card[(A∪C)∩B]－card(A∩B∩C)－card(B)．因为card(A∩C)≥0且card[(A∪C)∩B]－card(A∩B∩C)－card(B)≤0，故命题②成立．故选A.
13．假
解析：原命题的否定为“?x∈{正实数}，使≥x”，是假命题．
————————————————————————————
14.若M，N为非空集合，且M≠N，则“a∈M或a∈N”是“a∈(M∩N)”的____________条件．
15．①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
16．已知点P是△ABC所在平面内一点，且＝λ＋μ，那么S△BCP＝S△ABC的充要条件是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)当c<0时，若ac>bc，则a18．(12分)指出下列命题的形式(“p∧q”、“p∨q”或“綈p”)及其构成，并判断命题的真假．
(1)方程x2＋x－1＝0没有实数根；
(2)若63既是3的倍数又是2的倍数，则63是6的倍数；
(3)若直线l平行于平面α或直线l与平面α相交，则直线l在平面α外．
答案
14．必要不充分
15．①②③
解析：先将命题改写，再判断．④可以直接判断原命题，因为原命题与逆否命题同真假，结论是B?A，故④为假命题．因此真命题为①②③.
16．μ＝或－，λ∈R
解析：本题考查平面向量基本定理及充要条件．过点P作平行于BC的直线，交直线AB于点F，设PF与BC间的距离为h0，△ABC的边BC上的高为h，则＝＝，得h0＝h，即BF＝BA，因此μ＝或－，λ∈R.
17．解：逆命题：当c<0时，若abc.是真命题．
否命题：当c<0时，若ac≤bc，则a≥b.是真命题．
逆否命题：当c<0时，若a≥b，则ac≤bc.是真命题．
18．解：(1)“綈p”形式，其中p：方程x2＋x－1＝0有实数根．
因为p为真命题，所以綈p是假命题．
(2)“p∧q”形式，其中p：若63是3的倍数，则63是6的倍数，是假命题；
q：若63是2的倍数，则63是6的倍数，是假命题，
因此，p∧q是假命题．
(3)“p∨q”形式，其中p：若l∥α，则l?α，是真命题；
q：若l与α相交，则l?α，是真命题，
因此，p∨q是真命题．
————————————————————————————
19.(12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
20．(12分)求证：“a<”是“方程x2＋x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件．
答案
19．解：∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
又“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，∴B?A.
当B＝?时，得a＝0；
当B≠?时，由题意得B＝{1}或B＝{2}．
则当B＝{1}时，得a＝1；当B＝{2}时，得a＝.
综上所述，实数a组成的集合是.
20．证明：充分性：当a<时，方程的判别式Δ＝1－4a>0，所以方程x2＋x＋a＝0有实数解，充分性成立；
必要性：当方程x2＋x＋a＝0有实数解时，判别式Δ＝1－4a≥0，解得a≤，即a＝或a<，故必要性不成立．
综上所述，“a<”是“方程x2＋x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件．
————————————————————————————
21.(12分)已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，求：
(1)方程有两个正根的充要条件；
(2)方程至少有一个正根的充要条件．
22．(12分)已知函数f(x)＝4sin2－2cos2x－1.给定p：x<或x>，x∈R；q：－2答案
21.解：(1)设方程的两个正根分别为x1、x2，由题意结合韦达定理可得
?
?1(2)由题意得，所求的充要条件除了(1)中的条件还应该包括一个正根和一个负根的情况(注意本题中原方程不可能有零根)，
??a<1.
所以满足题意的充要条件为a<1或122．解：由q可得
∵綈p是q的充分条件．∴在≤x≤的条件下，恒成立．
又f(x)＝2－2cos2x－1
＝2sin2x－2cos2x＋1
＝4sin＋1，
由≤x≤，知≤2x－≤，
∴当x＝时，f(x)max＝5，
当x＝时，f(x)min＝3.
∴即3∴m的取值范围是(3,5)．