5.5 三角函数的公式体系3（和差倍角公式） 同步学案

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三角函数公式体系（和差倍角公式）学案
一．学习目标
三角函数的公式体系包含同角三角函数关系式、诱导公式以及和差倍角三角函数公式，在前面学习的诱导公式的基础上，能够灵活运用和差倍角公式进行三角函数的化简、求值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用；这也是本节课的学习目标，也是后期进行三角函数的恒等变换的理论基础；同时对于和差倍角的公式理解，明白诱导公式是和差公式的一种特例情况。
二．基础知识梳理
1.两角和的三角函数公式：
①两角和的正弦公式：
②两角和的余弦公式：
③两角和的正切公式：
2.两角差的三角函数公式：
①两角差的正弦公式：
②两角差的余弦公式：
③两角差的正切公式：
综上，两角和差的三角函数公式如下所述：
①正弦公式：
②余弦公式：
③正切公式：
3.二倍角的三角函数公式：
①二倍角的正弦公式：
②二倍角的余弦公式：
③二倍角的正切公式：
4.三角函数公式的变形：
①
；；.
②
；；
二．典例分析与性质总结
题型1：三角函数公式的简单应用
例1：化简求值：
(1)；(2)；(3)；(4)
方法提炼：
(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值；
(2)同时在求值的过程中，诱导公式的运用可以起到角度化简的效果。
题型2：三角函数公式的逆用
例2：化简求值：
(1)
(2)
(3)
(4)等于(　　)
A．
B．
C．1
D．
方法提炼：
解答这类题目时，多数是两角和与差公式的逆用，公式的逆用是三角式变形的重要手段，它可以将含多个三角函数式的式子变形为只含一个三角函数式的式子；另外，在逆用公式时，要通过诱导公式的变形，使之符合公式的特征，有时还需把三角函数式的系数作为特殊值化为特殊角，有时还需把和、差角公式变形应用。如果函数名不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称构造公式的结构形式然后逆用公式求值。
题型3：条件求值
例3：(1)已知，且，求的值．
(2)已知，，，求的值．
(3)若，，且，求的值
思路导引：
1.三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换；其中角的变换是最基本的变换．常见的有：
，，
2.先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系.尽量出现条件中的角，
以便能整体代入，减少运算量。
题型4：条件求角
例4：(1)为锐角，且，，求的值________.
(2)已知，，且，求的值。
(3)设，，，，求的值。
思路导引：
解答给值求角问题的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求的角；
特别注意选取角的某一三角函数值时，应先缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内，进而选取三角函数求解；举例来说，如果某个角的正弦值易求解，需要将该角的范围压缩
至（或其他单调区间）内，然后通过三角函数值确定角的大小；如果某个角的余弦值易求解，需
要将该角的范围压缩至（或其他单调区间）内，然后通过三角函数值确定角的大小。
题型5：辅助角公式的应用
例5：已知函数的图象经过点．
(1)求实数的值；
(2)求实数的最小正周期和单调递减区间．
思路导引：
利用辅助角公式可以将形如（不同时为零）的三角函数式写成一个角的三角函数式；这样有利于三角函数式的化简求值，更有助于研究三角函数的性质。
题型6：三角函数公式的变形应用
例6：(1)化简：；
(2)若锐角满足，求.
思路导引：正切公式可变形为如下形式：
或.
当为特殊角时，常考虑使用前者，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用后者。
题型7：三角函数公式的综合应用
例7：已知为的内角，是关于的方程的两个实根；求的大小。
例8：已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的取值范围．
思路导引：
和差公式是高考的重点内容，有时高考会将公式与函数、方程、不等式等知识综合考查.
要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和、差、倍角公式化为或
的形式，进而依据或的性质对待求函数进行性质研究。
四．变式演练与提高
1.计算：(1)；
(2).
(3)(　　)
A．
B．
C．
D．
(4)
.
2.已知，且，，求的值．
3.已知，，，求的值．
4.已知，，求的值．
5.设，，，，求的值．
6.函数的值域为(　　)
A．
B．
C．
D．
7.已知，，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
8.(1)若，则(　　)
A．
B．
C．
D．
9.已知和是方程的两个根，则的关系是(　　)
A．
B．
C．
D．
10.(1)；
(2)
11.已知，，求的值
12.已知函数
(1)求的最小正周期和最大值；
(2)讨论在上的单调性。
五．反思总结
1.给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
3.两角和与差的正、余弦公式应用
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意
的是“1”的代换，如，等，如，，等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．例如：，要特别注意
4.公式正切公式的变形应用
只要见到、时，要有灵活应用正切公式的意识。
5.对“二倍角”应该有广义上的理解，如：
是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。
6.二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：
①，②，
③，④.
六．课后作业
1.下列各式化简错误的是(　　)
A．
B．
C．
D．
2.应用三角函数公式求得的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
3.的值为(　　)
A．0
B．
C．
D．
4.已知，，求.
5.已知，，，求的值．
6.已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
7.已知，，，则等于(　　)
A．0
B．0或
C．
D．
8.函数的最小值为
.
9.若，，且为锐角，求的值．
10.已知，且，则等于(　　)
A．
B．
C．
D．7
11.已知，，则的值为(　　)
A．7
B．
C．
D．
12.已知是方程的两个根，且，，求.
13.已知，，求的值．
14.的值是(　　)
A．
B．
C．
D．
15.已知，则的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
16.已知，则
；
；
17.化简下列各式：
(1)；
(2)
七．参考答案
例1：解析：
(1)
(2)
(3)
(4)
例2：解析：
(1)
(2)
(3)
(4)
例3：解析：
(1)∵，且，∴.
∴
∴
(2)∵，∴，.
∴，
∴
；即
(3)
∵，∴.
又∵，∴，；∴原式
例4：解析：
(1)因为为锐角，所以，，
所以.
又，所以，所以
故.
(2)由，，得，
由，得；
又因为，所以，
.
所以
(3)由，且，得；
由，且，得.
又，；∴，∴，
∴
例5：解析：
(1)由函数的图象经过点，可知，解得.
(2)由(1)，知，
所以函数的最小正周期为.
由，可得
所以函数的单调递减区间为.
例6：解析：
(1)∵
∴
∴
∴.
(2)∵
∴
∴
又∵均为锐角，∴
∴.
例7：解析：
由已知，方程的判别式，所以或.
易知，
从而
所以，所以
例8：解析：
(1)
因为函数的最小正周期为，且，所以，解得
(2)由(1)得
因为，所以，
所以；所以
即在区间上的取值范围为
四．变式演练与提高
1.解析：
(1)
(2)
(3)
(4)
2.解析：
因为，所以，，
，
所以
3.解析：
因为，
所以，，
以上两式展开两边分别相加得，所以，
因为，所以，
所以.
4.解析：
∵，∴.①
∵，∴.②
由①②解得，
∴
5.解析：
由，，得.
由，，得，，
所以
由，，可得；因此，
6.解析：
所以函数的值域为．故选B．
7.解析：
(1)，得.
(2)
(3)因为
因为，，得
所以
8.解析：
(1)∵.
∴
即
；选B．
(2)由题意得，
所以，
所以，
整理可得．
9.解析：
所以
所以，化简整理得．
10.解析：
(1).
(2)
11.解析：
．
∵，且，∴
∴
∴
12.解析：
(1)
因此的最小正周期为，最大值为.
(2)当时，，从而
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减．
综上可知，在上单调递增；在上单调递减。
六．课后作业
1.解析：
根据两角差的余弦公式可知A，B，C均正确，而，故D选项错误．
2.解析：
3.解析：
4.解析：
由，，得.
∴.
5.解析：
因为，所以，所以.
又，所以
6.解析：
因为，所以．
方法1：观察选项，取，则在上单调递减，所以可取1，故排除B，C；再取，则在上不单调，故，排除D，选A．
方法2：因为ω>0，函数在上单调递减，所以，
得；当时，
所以，解得，故选A．
7.解析：
由，得，
又，，
∴，，
∴，故选C．
8.解析：
∴的最小值为.
9.解析：
∵均为锐角，∴，，
∴
又为锐角，∴，∴
10.解析：
由于，则，
所以，所以.
11.解析：
12.解析：
由题意得，
所以，，所以，，所以.
又；
所以.
13.解析：
∵，
∴，解得，
∴。
14.解析：
15.解析：
因为，所以.
16.解析：
∵，∴
17.解析：
(1)
(2)
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