青岛版数学八年级下册课件：7.2 勾股定理（共27张PPT）

7.2 勾股定理
学习目标
●了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理
●会用勾股定理进行简单计算，培养严谨的数学学习态度，体会勾股定理的应用价值。
图1(1)
A
C
B
a
c
b
图1(2)
1.在图1(2)中，? ABC是直角三角形，∠ ACB=90° 。
（1）如果每个小方格子都是边长为1的正方形，那么Rt ?ABC的三边AC,BC,AB的长各是多少?以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积各是多少？这些面积之间具有怎样的等量关系？
（2）如果这个直角三角形的三边长分别是a，b，c，那么可以怎样用a，b，c把图中三个正方形面积之间的关系表示出来呢？
自主探究 感悟新知
2.图2（1）是用大小相同的两种颜色的正方形瓷 砖铺成的地面。
（1）图2（1）中用白色框标出的三个正方形，他们的面积之间具有怎样的等量关系？
图2（1）
A
B
C
图2（2）
（2）根据图2（2），你能说出正方形面积之间的等量关系反映了Rt ?ABC三边之间怎样的关系吗？把它写出来。
合作学习 理解新知
在准备好的方格纸上，分别画三个顶点都在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9和12的直角三角形,并测量出这三个直角三角形的斜边长,然后验证你的猜想！
动手操作 数学实验
a
b
c
1
6
8
2
5
12
3
9
12
15
13
10
225
100
169
225
169
100
c
a
b
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，　　斜边c）；
2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 　　吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
验证实验 发现规律
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a2 + b2 = c2
b
a
c
a
a
b
b
c
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
a
a
b
b
如图，有8张同样的直角三角形纸片，设直角边分别为a和b，斜边为c；有两个边长为（a+b）的正方形。现在我把其中的4个直角三角形纸片摆在第一个图内；把另外的4个直角三角形纸片摆在第二个图内。请同学们观察两个图形中的Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ三个小正方形的面积之间有什么关系？说说你的发现。
（毕氏证法）
资料库
结论：
y=0
如图，假设四个直角三角形纸的直角边分别为a和b，斜边为c；那么它们组成的大正方形面积怎么求？
动动脑
a
b
c
直角三角形的这个
性质叫做勾股定理
探究与发现
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1是由四个一样的直角三角形组成的，称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在《周髀算经》中给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.
图1-1
图1-2
该图中有什么奥秘呢？
勾
股
弦
探究与发现
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 =
a2+2ab+b2 = 2ab +c2
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
(a+b)2
C2
证明2：
C2
a
b
c
b
a
c
A
B
C
D
E
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”．
证明3：
你能只用这两个直角三角形说明a2+b2=c2吗？
拼一拼 试一试
勾
股
勾
股
弦
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
辉煌发现
《周髀算经》 　　 　　
毕达哥拉斯
商高　　 　　
数学史话
《勾股圆方图》
图1
现代汉语的意思是：有一架秋千，当静止时其踏板离地1尺；将它向前推两步（一步指“双步”，即左右脚各迈一步，一步为5尺）并使秋千的绳索拉直，其踏板离地5尺.求绳索的长.
分析：画出如图的图形，由题意可知AC= ；CD= ;CF= .Rt OBF中设OB为x尺，你能解答这个题吗？
1尺
10尺
5尺
解：如图1,设OA为静止时秋千绳索的
长，则
AC=1，CF=5, BF=CD=10. AF=CF-
AC=5-1=4.设
绳索长为OA=OB=x尺。
则 OF=OA-AF=(x-4)尺 在Rt△OBF中，由勾股定理，
得：
OB2=BF2+OF2,即
x2=102+(x-4)2
解得：x=14.5尺 。解得：=14.5尺。
∴绳索长为14.5尺。
O
A
C
B
D
E
F
例2
1) 在直角三角形中，两条直角边分别为a,b, 斜边为c，则c2=____
a2+b2
2) 在RT△ABC中∠C=90°,
⑴若a=4,b=3,则c=____
⑵若c=13,b=5,则a=____
5
12
一 填空题
3) 在直角三角形中,如果有两边 为3,4, 那么另一边为_________
5或 7
⑵如图，在RT△ABC中，∠C=90°,
∠B=45°,AC=1,则AB=( )
A 2, B 1, C , D
A
B
C
⑶一个长 方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝，那么它的宽是（ ）
A ㎝ B ㎝ C ㎝ D ㎝
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为 ( )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
C
３
４
C
B
A
１.基础练习之出谋划策
如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后“119”迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。现在需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？
9m
24m
?
y=0
解除险情
三 解答题
我能行
3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少?
x+1
B
C
A
H
1
2
?
┓
x
x2+22=(x+1)2
２.回归生活之学以致用
100
如图,在Rt△AOB中，∠O=90°,
AO=8米 ,BO=6米,
由勾股定理，得
AB2=AO2+BO2
=82+62=100
于是 AB= =10
所以，钢丝绳的长度为100米.
解
例题学习
例1
如图5—2，从电线杆OA的顶端A点，扯
一根钢丝绳固定在地面上的B点，这根钢
丝绳的长度是多少？
B
O
A
连接OB,OB与OA垂直,得直角三角形，在此直角三角形中，已知两直角边求斜边，应该用勾股定理.
分析：
为什么不用100的平方根呢？
明朝程大位的著作《算法統宗》裏有一道“蕩秋千”的趣題，是用詩歌的形式的：
平地秋千未起，踏板一尺離地；
送行二步與人齊，五尺人高曾記。
仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉；
良工高士好奇，算出索長有幾？
趣题欣赏
索長有幾
图1
现代汉语的意思是：有一架秋千，当静止时其踏板离地1尺；将它向前推两步（一步指“双步”，即左右脚各迈一步，一步为5尺）并使秋千的绳索拉直，其踏板离地5尺.求绳索的长.
分析：画出如图的图形，由题意可知AC= ；CD= ;CF= .Rt OBF中设OB为x尺，你能解答这个题吗？
1尺
10尺
5尺
解：如图1,设OA为静止时秋千绳索的
长，则
AC=1，CF=5, BF=CD=10. AF=CF-
AC=5-1=4.设
绳索长为OA=OB=x尺。
则 OF=OA-AF=(x-4)尺 在Rt△OBF中，由勾股定理，
得：
OB2=BF2+OF2,即
x2=102+(x-4)2
解得：x=14.5尺 。解得：=14.5尺。
∴绳索长为14.5尺。
O
A
C
B
D
E
F
例2
如图，将长为10米的梯子AC斜靠 在墙上，BC长为6米。

A
B
C
10
6
(1)求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
(2)若梯子下部C向后移动2米到C1点，那么梯子上部A向下移动了多少米？
A1
C1
2
3.巩固提高之灵活运用
一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位mm),求两孔中心A、B之间的距离.
A
B
90
160
40
40
C
解： 过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则
∠ACB=90°，
AC=90-40=50（mm）
BC=160-40=120（mm)
由勾股定理有：
AB2=AC2+BC2=502+1202
=16900（mm2)
∵AB＞0,
∴AB=130(mm)
答：两孔中心A，B的距离为130mm.
4.应用知识之学海无涯
谈谈你的收获！
勇敢说一说!
１.这节课你的收获是什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
２.理解“勾股定理”应该注意什么问题？
３.你觉得“勾股定理”有用吗？
要养成用数学的思维去解读世界的习惯。
只有不断的思考，才会有新的发现；只有量的变化，才会有质的进步。
　其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我们的身边,我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探索，等待我们去发现……
教师寄语
1.完成课本习题１、2、3（必做）
2.课后小实验：如图,分别以直角三角形的三 边为直径作三个半圆,这三个半圆的面积之间有什么关系?为什么? （必做）
3.做一棵奇妙的勾股树（选做）
作业快餐：
祝同学们学习进步！
再见！