人教版七年级数学下册课件：9.1.2 不等式的性质（27张）

第九章 不等式与不等式组
9.1.2 不等式的性质
知识回顾
前面我们已经学习过等式的基本性质
（1）等式的两边加或减同一个数（或式子），
等式仍然成立.
（2）等式的两边乘或除以同一个数（除数不
为0），等式仍然成立.
猜想 ：不等式也具有同样的性质吗？
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对于某些简单的不等式,我们可以直接得出它们的解集,例如不等式 x+3>6 的解集是 x>3,不等式 2x<8 的解集是 x<4.但是对于比较复杂的不等式,例如 ,直接得出解集就比较困难.因此,还要讨论怎样解不等式.
与解方程需要依据等式的性质一样,解不等式需要依据不等式的性质.
为此,我们先来看看不等式有什么性质.
我们知道，等式两边加或减同一个数(或式子)，
乘或除以同一个数(除数不为0)，结果仍相等. 不等
式是否也有类似的性质呢？
思 考
用“>”或“<”填空,并总结其中的规律:
(1) 5＞3,5+2 3+2, 5－2 3－2;
(2) －1＜3,－1+ 2 3 + 2, －1－3 3－3;
(3) 6＞2,6×5 2×5,6×(－5) 2×(－5);
(4) －2＜3,(－2)×6 3×6,(－2)×(－6) 3× (－6) .
>
>
＜
＜
>
＜
＜
>
根据发现的规律填空:当不等式两边加或减同一个数(正数或负数)时,不等号的方向 .当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向 ;而乘同一个负数时,不等号的方向 .
不变
不变
改变
一般地,不等式有以下性质.
如果a>b,那么a+c>b+c，a－c>b－c.
不等式的性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子) ,不等号的方向不变.
不等式的性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数,
不等号的方向不变.
不等式的性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，
不等号的方向改变.
如果a > b，c > 0，那么 ac > bc ， >
如果a > b，c < 0，那么 ac < bc ， <
例题讲解
例1 利用不等式的性质解下列不等式：
(1)x－7＞26； (2) 3x＜2x+1；
(3) x＞50; (4) －4x＞3.
解未知数为x的不等式
化为x＞a或x目标
方法：不等式基本性质1~3
思路：
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7, 不等号的方向不变，所以
x－7+7＞26+7,
x＞33.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以
3x－2x＜2x+1－2x，
x＜1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
33
0
1
(3)根据不等式的性质2, 不等式两边乘 . 不等号的方向不变，所以
x＞75.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
75
(4)根据不等式的性质3, 不等式两边除以－4, 不等号的方向改变，所以
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
－
4
3
0
利用不等式的性质1可简化为“移项”；利用不等式的性质2或性质3就是把未知数的系数化为1，要注意不等式两边乘(或除以)同一个负数时，不等号要改变方向．
例如,为了表示2011年9月1日北京的最低气温是19°C,最高气温是28°C ,
我们可以用 t 表示这天的气温,t 是随时间变化的,但是它有一定的变化范围,即 t ≥19°C 并且 t ≤28°C.符号“≥”读作“大于或等于”,也可说是“不小于”;符号“≤”读作“小于或等于”,也可说是“不大于”. a ≥ b或 a ≤ b形式的式子,具有与前面所说的不等式的性质类似的性质.
像a≥b或a≤b 这样的式子,也经常用来表示两个数量的大小关系.
常用的表示不等关系的关键词语及对应的不等号
关
键
词
语
第一类：明确表明数量
的不等关系
第二类：明确表明数量的范围特征
①大 于
②比…大
③超 过
①小 于
②比…小
③低 于
①不小于
②不低于
③至 少
①不大于
②不超过
③至 多
正
数
负
数
非
负
数
非
正
数
不
等
号
<
＞
≥
≤
＞0
﹤0
≥0
≤0
例2 某长方体形状的容器长5 cm，宽3 cm， 高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm，现准备向它继续注水. 用V(单位：cm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围 .
10 cm
解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过
容器的容积，即 V+3×5×3≤3×5×10,
V≤105.
又由于新注入水的体积V不能是负数，
因 此，V的取值范围是 V≥0 并且 V≤105.
在数轴上表示V的取值范围如图所示.
0
105
10 cm
注意在临界处，如果能取到，则用实心点；取不到，则用空心圈
随堂演练
1. 已知实数a、b ，若a＞b ，则下列结论正确的是( )
A．a－5＜b－5 B．2＋a＜2＋b
C． D．3a＞3b
D
2．若3x＞－3y，则下列不等式中一定成立的是(　　)A．x＋y＞0 B．x－y＞0
C．x＋y＜0 D．x－y＜0
A
3．由m>n得km>kn成立的条件为(　　)A．k>0 B．k<0
C．k≤0 D．k≥0
A
4. 如果式子 有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是(　　)
C
5.设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.
（1） a - 7____b - 7;根据是__________________
（2） a÷6____b÷6;根据是__________________
（3） 0.1a____0.1b; 根据是__________________
（4） -4a____-4b;根据是__________________
（5） 2a+3____2b+3;根据是__________________
（6）(m2+1)a____ (m2+1)b(m为常数);根据是__________________
＞
＞
＞
＞
＞
＜
不等式的性质1
不等式的性质2
不等式的性质2
不等式的性质3
不等式的性质1，2
不等式的性质2
6. 如果不等式 (a＋1)x＜a＋1可变形为 x＞1，那么a 必须满足________.
a＜－1
7.用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集.
（1）x的3倍大于或等于1；
（2）x与3的和不小于6；
（3）y与1的差不大于0；
（4）y的 小于或等于-2.
(2)x+3≥6, 解集是x≥3;
(3)y-1≤0, 解集是y≤1;
0
3
0
1
0
-8
解：(1)3x≥1, 解集是x≥ ;
0
(4) y≤-2, 解集是y≤-8.
8.小希就读的学校上午第一节课的上课时间是8点.小希家距学校有2千米,而她的步行速度为每小时10千米.那么,小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？
解：设小希上午x点从家里出发才能不迟到，根据题意得
答：小希上午7:48前从家里出发才能不迟到.
≤8.
解得x≤ .
课堂小结
不等式的基本性质
不等式基本性质2
不等式基本性质3
→
→
如果 那么
如果 那么
应用性质对不等式简单变形
不等式的基本性质1
如果a>b，那么a+c>b+c，
a-c>b-c
→