2020-2021学年河北省石家庄市栾城区八年级上学期期中数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年河北省石家庄市栾城区八年级（上）期中数学试卷
一.选择题（共12小题）.
1．要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0
2．﹣8的倒数是（　　）
A．﹣ B．﹣8 C．8 D．
3．下列各式中正确的是（　　）
A．﹣|﹣2|＝2 B．＝±2 C．＝3 D．30＝1
4．下列实数中，属于无理数的是（　　）
A． B．3.14 C． D．
5．若a≠b，则下列分式化简正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
6．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（　　）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
7．解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（　　）
A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）
B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解这个整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
8．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
9．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
10．如图，在△ABC和△AED中，已知∠1＝∠2，AC＝AD，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△AED，这个条件是（　　）
A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E
11．若2＜＜3，则a的值可以是（　　）
A．﹣7 B． C． D．12
12．“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角“的尺规作图过程如下：
已知：如图1，∠AOB和OA上一点C．
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．
作法：如图2，
（1）在OA上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点G；
（3）作射线CG．
则∠GCA就是所求作的角．
此作图的依据中不含有（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行同位角相等
D．两点确定一条直线
二、填空题（每小题3分，共24分，将每小题相应的答案写在答题纸上）
13．写出一个比3大且比4小的无理数：　 　．
14．若+|b﹣11|+（c+12）2＝0．则a+b+c的平方根是　 　．
15．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是　 　命题．（填“真”或“假”）
16．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°．AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，若CE＝7，AD＝5，则DE的长是　 　．
17．x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y2的平方根是　 　．
18．当x＝　 　时，分式与分式的值互为相反数．
19．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为　 　cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
20．若关于x的方程+＝无解，则m的值为　 　．
三、解答题（共5个小题，共52分.解答应写出文字说明或演算步骤）
21．关于x的方程：﹣＝1．
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值．
22．一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为256时，输出的y值是　 　；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值：　 　．
23．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由．
24．为提升青少年的身体素质，深圳市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某学校为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球，已知用800元购买篮球的个数比购买足球的个数少2个，足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）如果计划用不多于5200元购买篮球、足球共60个，那么至少要购买多少个足球？
25．已知：∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E．求证：BD＝2CE．
参考答案
一.选择题（每小题2分，共24分，把每小题的正确选项填写在答题纸上）
1．要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0
解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：B．
2．﹣8的倒数是（　　）
A．﹣ B．﹣8 C．8 D．
解：﹣8的倒数是﹣，
故选：A．
3．下列各式中正确的是（　　）
A．﹣|﹣2|＝2 B．＝±2 C．＝3 D．30＝1
解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项错误；
B、＝2，故此选项错误；
C、≠3，故此选项错误；
D、30＝1，故此选项正确；
故选：D．
4．下列实数中，属于无理数的是（　　）
A． B．3.14 C． D．
解：A、不是无理数，故本选项不符合题意；
B、不是无理数，故本选项不符合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．若a≠b，则下列分式化简正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
解：∵a≠b，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：D．
6．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（　　）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选：B．
7．解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（　　）
A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）
B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解这个整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
解：分式方程的最简公分母为（x﹣1）（x+1），
方程两边乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
故选：D．
8．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解：设甲每小时做x个零件，可得：，
故选：D．
9．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，
∵∠ACB′＝100°，
∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，
∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，
故选：C．
10．如图，在△ABC和△AED中，已知∠1＝∠2，AC＝AD，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△AED，这个条件是（　　）
A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
即∠CAB＝∠DAE，
A、加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；
B、加上BC＝ED不能证明△ABC≌△AED；
C、加上∠C＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；
D、加上∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；
故选：B．
11．若2＜＜3，则a的值可以是（　　）
A．﹣7 B． C． D．12
解：∵2＜＜3，
∴4＜a﹣2＜9，
∴6＜a＜11．
又a﹣2≥0，即a≥2．
∴a的取值范围是6＜a＜11．
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
12．“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角“的尺规作图过程如下：
已知：如图1，∠AOB和OA上一点C．
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．
作法：如图2，
（1）在OA上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点G；
（3）作射线CG．
则∠GCA就是所求作的角．
此作图的依据中不含有（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行同位角相等
D．两点确定一条直线
解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；
结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；
作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分，将每小题相应的答案写在答题纸上）
13．写出一个比3大且比4小的无理数：　π（答案不唯一）　．
解：写出一个比3大且比4小的无理数：π（答案不唯一）．
故答案为：π（答案不唯一）．
14．若+|b﹣11|+（c+12）2＝0．则a+b+c的平方根是　±3　．
解：∵+|b﹣11|+（c+12）2＝0，
∴a﹣10＝0，b﹣11＝0，c+12＝0，
解得：a＝10，b＝11，c＝﹣12，
∴a+b+c＝10+11﹣12＝9，
∴a+b+c的平方根为±3，
故答案为：±3．
15．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是　真　命题．（填“真”或“假”）
解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是真命题；
故答案为：真．
16．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°．AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，若CE＝7，AD＝5，则DE的长是　2　．
解：∵∠ABC＝90°，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，
∴∠D＝∠CEB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBF＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CBF＝∠BAD，
∵AB＝BC，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BD＝CE＝7，AD＝BE＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝7﹣5＝2，
故答案为2．
17．x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y2的平方根是　±10　．
解：根据题意得：x﹣2＝4，2x+y+7＝27，
解得：x＝6，y＝8，
则x2+y2＝100，100的平方根是±10，
故答案为：±10
18．当x＝　2.4　时，分式与分式的值互为相反数．
解：根据题意得：+＝0，
去分母得：2﹣3x+10﹣2x＝0，
解得：x＝2.4，
经检验x＝2.4是分式方程的解，
故答案为：2.4．
19．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为　1或1.5　cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
解：设点Q的运动速度是xcm/s，
∵∠CAB＝∠DBA，
∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：
①AP＝BP，AC＝BQ，
则1×t＝4﹣1×t，
解得：t＝2，
则3＝2x，
解得：x＝1.5；
②AP＝BQ，AC＝BP，
则1×t＝tx，4﹣1×t＝3，
解得：t＝1，x＝1，
故答案为：1或1.5．
20．若关于x的方程+＝无解，则m的值为　﹣1或5或﹣　．
解：去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3，
可得：（m+1）x＝5m﹣1，
当m+1＝0时，一元一次方程无解，
此时m＝﹣1，
当m+1≠0时，
则x＝＝±4，
解得：m＝5或﹣，
综上所述：m＝﹣1或5或﹣，
故答案为：﹣1或5或﹣．
三、解答题（共5个小题，共52分.解答应写出文字说明或演算步骤）
21．关于x的方程：﹣＝1．
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值．
解：（1）当a＝3时，原方程为﹣＝1，
方程两边同时乘以（x﹣1）得：3x+1+2＝x﹣1，
解这个整式方程得：x＝﹣2，
检验：将x＝﹣2代入x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，
当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0，
解得：x＝1，
将x＝1代入整式方程得：a+1+2＝0，
解得：a＝﹣3，
综上，a的值为﹣3．
22．一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为256时，输出的y值是　　；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值：　5和25（答案不唯一）　．
解：（1）∵256的算术平方根是16，16是有理数，16不能输出，
16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
∴2的算术平方根是，是无理数，输出，
故答案为：．
（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当x＝0和1时，始终输不出y的值；
（3）25的算术平方根是5，5的算术平方根是，
故答案为：5和25（答案不唯一）．
23．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由．
解：在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，
再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长，
作出的图形如图所示：
∵AB⊥BF ED⊥BF
∴∠ABC＝∠EDC＝90°
又∵CD＝BC，∠ACB＝∠ECD
∴△ACB≌△ECD（ASA），
∴AB＝DE．
24．为提升青少年的身体素质，深圳市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某学校为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球，已知用800元购买篮球的个数比购买足球的个数少2个，足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）如果计划用不多于5200元购买篮球、足球共60个，那么至少要购买多少个足球？
解：（1）设篮球的单价为x元/个，则足球的单价为0.8x元/个，
根据题意得：+2＝，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，
∴0.8x＝80．
答：篮球的单价为100元/个，足球的单价为80元/个．
（2）设购买m个足球，则购买（60﹣m）个篮球，
根据题意得：80m+100（60﹣m）≤5200，
解得：m≥40．
答：至少要购买40个足球．
25．已知：∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E．求证：BD＝2CE．
【解答】证明：延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF．
又AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
有BE＝BE，
∴△BCE≌△BFE，
∴CE＝EF，
∴CE＝BD，
∴BD＝2CE．