北师大版高中数学必修三 1.8最小二乘估计 教案

第十二课时
§1.9最小二乘法
一、教学目标：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
二、教学重难点：重点：了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程.
教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解
教学实施过程中的难点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程.
三、教学方法：动手操作，合作交流.
四、教学过程：
(一)、利用最小二乘法推导回归系数公式.
回顾上节课：师：我们现在来求距离和.怎么求？
生：利用点到直线的距离公式
师生共同：只要求出使距离和最小的、b即可.但是，我们知道点到直线的距离公式计算复杂.怎么办呢？以样本数据点A为例，
可以看出：
在△ABC中，（教师动画演示）
按照一对一的关系，直角边AC越小，斜边AB越小，
当AC无限小时，AB跟AC可近似看作相等.
求麻烦，不妨求生：
师：它表示自变量x取值一定时，纵坐标的偏差.假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：…….当自变量取（=1，2，……，n）时，可以得到（=1，2，……，n），它与实际收集到的之间的偏差是
（=1，2，……，n）
这样用n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.总的偏差为，偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值，由于带绝对值计算不方便所以换成平方，现在的问题就归结为：当，b取什么值时Q最小.
将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值时
（其中，）推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”最小的方法叫“最小二乘法”.
设计意图：培养学生的动手操作能力，最小二乘法的思想是本节课的教学难点，先让学生动手操作画回归直线，教师动画演示，进一步演绎推理来分解难点、突破难点
（二）、直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间.
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标.如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度.
应用直线回归的注意事项：（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前,最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延.
（四）、实例分析：
某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（）与公司所获得利润（）的统计资料如下表：
科研费用支出（）与利润（）统计表
单位：万元
年份
科研费用支出
利润
1998
1999
2000
2001
2002
2003
5
11
4
5
3
2
31
40
30
34
25
20
合计
30
180
要求估计利润（）对科研费用支出（）的线性回归模型.
解：设线性回归模型直线方程为：因为：
根据资料列表计算如下表：
年份
1998
1999
2000
2001
2002
2003
5
11
4
5
3
2
31
40
30
34
25
20
155
440
120
170
75
40
25
121
16
25
9
4
0
6
-1
0
-2
-3
1
10
0
4
-5
-10
0
36
1
0
4
9
0
60
0
0
10
30
合计
30
180
1000
200
0
0
50
100
现利用公式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）求解参数的估计值：
?
所以：利润（）对科研费用支出（）的线性回归模型直线方程为：
求直线回归方程，相关系数和作图,这些EXCEL可以方便地做到.仍以上题的数据为例.于
EXCEL表
中的空白区，选用"插入"菜单命令中的"图表"，选中
XY散
点图类型，在弹出的图表向导中按向导的要求一步一步地
操作，如有错误可以返回去重来或在以后修改.适当修饰
图的大小、纵横比例、字体大小、和图符的大小等，使图
美观，最后得到图1，图中有直线称为趋势线，还有直线方程和相关系数.图中的每一个部份如坐标、标题、图例
等都可以分别修饰，这里主要介绍趋势线和直线方程.
图1散点图
　　鼠标右键点击图中的数据点，出现一个对话框，选
"
添加趋势线"
，图中自动画上一条直线，再以鼠标右击此线，出现趋势线格式对话框，选择线条的粗细和颜色，在选项中选取显示公式和显示R
平方值，确定后即在图中显示回归方程和相关系数.
（五）、课堂练习：第83页，练习A,练习B
(六)、小结：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
（七）、课后作业：第84页，习题2-3A第1、2题,
五、教后反思：