人教版 九年级数学上册 24.4 弧长与扇形面积 课时训练（word含答案）

人教版 九年级数学 24.4 弧长与扇形面积 课时训练
一、选择题
1. 将圆心角为90°，面积为4π cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为(　　)
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
2. 如图，?ABCD中，∠B=70°，BC=6.以AD为直径的☉O交CD于点E，则的长为 (　　)
A.π B.π C.π D.π
3. 如图，用一张半径为24 cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)．如果圆锥形帽子的底面圆半径为10 cm，那么这张扇形纸板的面积是(　　)
A．240π cm2 B．480π cm2
C．1200π cm2 D．2400π cm2
4. （2020·泰州）如图，半径为的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是(　　)
A. 2－π B. 4－π C. 2－π D. π

6. 如图，C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l∶l＝1∶3(l表示的长)．若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为(　　)
A．1∶3 B．1∶π C．1∶4 D．2∶9
7. 如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝4，则S阴影＝(　　)
A. 2π B. π C. π D. π
　　　
8. 如图，在△AOC中，OA＝3 cm，OC＝1 cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为(　　)
A. cm2 B．2π cm2
C. cm2 D. cm2
二、填空题
9. 如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，AB＝3 cm，则劣弧的长为________ cm.
　　　　　
10. (2020·绥化)已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是______度．
11. （2020·黄石）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于 ．
12. 如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形OAC.已知圆锥的高h为12 cm，OA＝13 cm，则扇形OAC中的长是________ cm.(结果保留π)
13. 一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为________．
14. 如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置．若AB＝16 cm，则图中阴影部分的面积为________．
15. 一个圆锥形漏斗，某同学用三角尺测得其高度的尺寸(单位：cm)如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为________cm2.
16. （2020·凉山州）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点．若阴影部分的面积是，则半圆的半径OA的长为 ．
三、解答题
17. 已知一个圆锥的轴截面△ABC(如图0)是等边三角形，它的表面积为75π cm2，求这个圆锥的底面圆的半径和母线长．
18. （2020·临沂）已知的半径为，的半径为.以为圆心，以的长为半径画弧，再以线段的中点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，交于点，过点作的平行线交于点.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求阴影部分的面积.
19. 如图，已知等腰直角三角形ABC，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，且AC＝BC＝16分米，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点F，以点C为圆心，CD长为半径画弧，与AC，BC分别交于点E，G.求阴影部分的面积．
20. 如图所示，圆锥的底面圆的半径为10 cm，高为10 cm.
(1)求圆锥的全面积；
(2)若一只小虫从底面上一点A出发，沿圆锥侧面绕行到母线SA上的点M处，且SM＝3AM，求它所走的最短路程．
21. 如图，PB切⊙O于点B，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为D，交⊙O于点A，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC，AF，BF.
(1)若∠AOF＝120°，⊙O的半径为3，
求：①∠CBF的度数；
②的长；
③阴影部分的面积．
(2)若AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．
(3)求证：直线PA为⊙O的切线．
(4)若BC＝6，AD∶FD＝1∶2，求⊙O的半径．
人教版 九年级数学 24.4 弧长与扇形面积 课时训练-答案
一、选择题
1. 【答案】 A　【解析】设扇形的半径为R，根据题意得＝4π，解得R＝4，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝，解得r＝1，即所围成的圆锥的底面圆的半径为1 cm.
2. 【答案】B　[解析]如图，连接OE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，∠D=∠B=70°，∴OD=3.
∵OD=OE，∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=40°.∴的长==π.
3. 【答案】A　[解析] ∵扇形的弧长l＝2·π·10＝20π(cm)，
∴扇形的面积S＝lR＝×20π×24＝240π(cm2)．
4. 【答案】 A
【解析】本题考查了由于△CDE与△COD同底等高，面积相等，因此阴影部分面积与扇形BOC面积相等．而∠COB＝∠CDE＝36°，根据扇形面积公式可求得阴影部分面积为10π．
5. 【答案】A　【解析】设BC＝x，∵D为AB的中点，∴AB＝2BC＝2x, ∴在Rt△ABC中，由勾股定理有(2x)2－x2＝(2)2，解得x＝2，又∵sinA＝＝， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BCD＝×2×2－＝2－π.
6. 【答案】D
7. 【答案】 B　【解析】如解图，连接OC，设CD与OB交于点E，∵在⊙O中，弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝2，∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，在Rt△EOD中，OE＝＝2，∴OD＝4，∴BE＝OB－OE＝4－2＝2，在△DOE和△CBE中，CE＝DE，∠CEB＝∠DEO，OE＝BE，∴△DOE≌△CBE，∴S阴影＝S扇形OBD＝＝π.

8. 【答案】B　[解析] 如图，AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积即阴影部分的面积．S阴影＝S△OCA＋S扇形OAB－S扇形OCD－S△ODB.由旋转知△OCA≌△ODB，∴S△OCA＝S△ODB，∴S阴影＝S扇形OAB－S扇形OCD＝－＝2π(cm2)．故选B.
二、填空题
9. 【答案】π　【解析】由OA＝OB，∠AOB＝60°.可得△AOB为等边三角形，∴⊙O的半径OA＝AB＝3 cm，∴l＝×π×3＝π(cm)．
10. 【答案】100
【解析】设圆心角的度数是n，则2π×2.5＝．解得n＝100．
11. 【答案】,2)π
【解析】由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出的长了．
∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB＝2，AC＝，BC＝，∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝，∴的长为：,180)＝,2)π．
12. 【答案】10π　[解析] 由勾股定理，得圆锥的底面圆半径为＝5(cm)，∴扇形的弧长＝圆锥的底面圆周长＝2π×5＝10π(cm)．
13. 【答案】12π
14. 【答案】32π cm2　[解析] 由旋转的性质得∠BAB′＝45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD，
则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积＋扇形ABB′的面积－四边形AB′C′D′的面积＝扇形ABB′的面积＝＝32π(cm2)．
15. 【答案】15π
16. 【答案】3
【解析】如答图，连接OC、OD、CD，则∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°．∵OB＝OD＝OC，∴△OCD和△OBD均为正三角形．∴∠ODC＝∠BOD＝60°．∴AB∥CD．∴S△BCD＝S△OCD．∴S阴影部分＝S扇形OCD．∴．解得r＝3，于是半圆的半径OA的长为3．故答案为3．
三、解答题
17. 【答案】
解：∵轴截面△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝2OC.
由题意，得π·OC·AC＋π·OC2＝75π，
∴3π·OC2＝75π，∴OC2＝25.
∵OC>0，∴OC＝5 cm，
∴AC＝2OC＝2×5＝10(cm)．
即这个圆锥的底面圆的半径为5 cm，母线长为10 cm.
18. 【答案】
证明：（1）连接AP，过点作直线BC的垂线，垂足为点M，如下图：
∵线段的中点是点，以的长为半径画弧∴
∴∠PAO1＝∠PO1A，∠PAO2＝∠PO2A，∴∠O1A O2=∠PAO1+∠PAO2＝90°
∴△O1A O2是直角三角形∵∴∠O1A O2=∠ABC＝90°
又∵∠O2MB=90°∴四边形ABM O2是平行四边形∴O2M＝AB= O1A－O1B=
∴是的切线；
（2）
∵，，， ∴O1A =
又∵∠O1A O2=90°∴cos∠A O1 O2=∴∠A O1 O2=60°
在Rt△B O1 C中：
设O1 O2与的交点为点N，则阴影部分的面积为：
.
【解析】（1）证切线常用的方法有“作垂线证半径”和“作半径证垂直” ，考虑到题目中的已知条件，用“作垂线证半径”更简便一些，为此我们可以过点作直线BC的垂线，垂足为点M；同时考虑到∠O1A O2可能是直角，可以连接AP用等腰三角形的等角对等边和三角形内角和定理进行证明；条件中还给出了平行线，因此可以证明∠ABC＝90°，则四边形ABM O2是平行四边形，最后证明O2M＝AB= O1A－O1B= ，问题得以解决.
（2）求阴影部分的面积，可以根据割补法来求.解决问题的关键是分别求出△BO1C和扇形BO1N的面积，根据已知条件，可以先求出O1A =，然后根据三角函数求出
∠A O1 O2的度数，需要的数据再通过三角函数求出，问题得解.

19. 【答案】
解：连接CD.∵△ABC是等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，
∴CD⊥AB.
由已知，得AB＝16 ，∠DBF＝45°，
∴BF＝BD＝AB＝CD＝8 ，
∴阴影部分的面积是－－[×－]＝64(分米2)．
答：阴影部分的面积是64平方分米．
20. 【答案】
解：(1)SA＝＝40(cm)，
S全＝S底＋S侧＝π×102＋10π×40＝500π(cm2)．
故圆锥的全面积是500π cm2.
(2)如图，设圆锥的侧面展开图为扇形SAA′，点M对应扇形上的点M′，圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为n°.
由题意，得SM′＝SM＝SA＝×40＝30(cm)．
又∵S侧＝10π×40＝π×402，
∴n＝90，∴∠ASM′＝90°.
由勾股定理，得AM′＝＝＝50(cm)．
即它所走的最短路程是50 cm.
21. 【答案】
解：(1)①∵∠AOF＝120°，
∴∠ABF＝60°.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝30°.
②连接OB.
∵∠AOF＝120°，
∴∠AOE＝60°.
∵EF⊥AB于点D，∴＝，
∴∠AOE＝∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，
∴＝＝2π.
③∵∠AOE＝60°，EF⊥AB于点D，
∴∠OAB＝30°.
∵AC＝6，∴BC＝3，∴AB＝3 .
∵OA＝3，∴OD＝，
∴S△AOB＝AB·OD＝×3 ×＝ .
∵S扇形OAB＝π×32＝3π，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAB－S△AOB＝3π－ .
(2)∵EF⊥AB于点D，∴AD＝BD＝4.
设OA＝x，则OD＝OE－DE＝x－2.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即x2＝(x－2)2＋42，解得x＝5，
∴⊙O的半径为5.
(3)证明：连接OB.
∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°.
∵EF⊥AB于点D，∴＝，
∴∠AOP＝∠BOP.
又∵OA＝OB，PO＝PO，∴△PAO≌△PBO，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴直线PA为⊙O的切线．
(4)∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，
∴OD＝BC＝3.
设AD＝y.∵AD∶FD＝1∶2，
∴FD＝2y，∴OA＝OF＝FD－OD＝2y－3.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即(2y－3)2＝y2＋32.
解得y1＝4，y2＝0(不合题意，舍去)．
∴OA＝2y－3＝5，即⊙O的半径为5.