苏科版九年级数学下册 5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式二次函数 同步测试题（Word版 有答案）

10858500119380001231900005.3 用待定系数法确定二次函数的表达式二次函数 同步测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ， ） ?
1. 顶点是(-2,?1)，开口方向，形状与抛物线y=12x2相同的抛物线是（ ）
A.y=12(x+2)2+1 B.y=12(x-2)2+1
C.y=13(x-2)2+1 D.y=-12(x+2)2+1
?
2. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为(? ? ? ? )

A.y=x2-2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=x2+2x-3 D.y=x2+2x+3
?
3. 顶点为(6,?0)，开口向下，开口的大小与函数y=13x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ）
A.y=13(x+6)2 B.y=13(x-6)2 C.y=-13(x+6)2 D.y=-13(x-6)2
?
4. 如图，抛物线的函数表达式是（ ）
A.y=x2-x+2 B.y=x2+x+2 C.y=-x2-x+2 D.y=-x2+x+2
?
5. 下表是变量x与y的一组对应值：
x
-2
-1
0
1
2
3
y
1
-0.5
-1
-0.5
1
3.5
从这组数据看，y与x的函数关系是（ ）
A.正比例函数 B.常数项不为零的一次函数
C.二次函数 D.反比例函数
?6. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A.y=x2-x-2 B.y=-12x2-12x+2
C.y=-12x2-12x+1 D.y=-x2+x+2
?
7. 一个二次函数，当x=0时，y=-5；当x=-1时，y=-4；当x=-2时，y=5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5 C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5
?
8. 若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为(? ? ? ? )
A.y=-x2+2x+4 B.y=-ax2-2ax-3(a>0)
C.y=-2x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a<0)
?
9. 若a，b，c满足a+b+c=0，a-b+c=0，则关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0的解是(? ? ? ? )
A.1，0 B.-1，0 C.1，-1 D.无法确定
二、 填空题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ， ） ?
10. 已知：二次函数的图象过A(1,?0)，B(k,?0)，C(0,?k)(k≠1)．若D是抛物线的顶点，且△ABD是直角三角形，则k=________．
?
11. 二次函数y=x2-2mx+m2-1经过原点，则此二次函数的解析式为________．
?
12. 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,?0)，B(4,?0)两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为________．
?
13. 若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,?1)，且经过点B(1,?0)，则抛物线的函数关系式为________．
?
14. 已知直线 y=x+1 与抛物线 y=ax2+2x+c 相交于点 A(-1,0) 和点 B(2,m)两点．则该抛物线的函数表达式是________.
?
15. 二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,?0)，(3,?0)，(0,?2)，当x=2时，y的值为________．
?
16. 二次函数y=ax2+bx+c经过三个点A(-3,?0)、B(0,?3)、C(2,?-5)，则二次函数解析式为________．
?
17. 二次函数的图象经过原点(-1,?-2)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为2．则二次函数的解析式为________．
?
18. 如图，边长为1的正方形ABCO，以A为顶点，且经过点C的抛物线与对角线交于点D，点D的坐标为________．

三、 解答题 （本题共计 8 小题，共66分 ， ） ?
19. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,?0)，B(3,?0)，C(0,?-3)三点，求这个二次函数的解析式．
?
20. 根据所给条件求抛物线的解析式：
（1）抛物线过点(0,?2)、(1,?1)、(3,?5)；
（2）抛物线关于y轴对称，且过点(1,?-2)和(-2,?0)．
?
21. 已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点(-2,?-5)，(1,?4)．求这个二次函数的解析式.
?
22. 已知二次函数图像的顶点坐标为(1,?-3)，且过点(2,?0)，求这个二次函数的解析式.
?
23. 已知一个二次函数的图象经过点(1,?-1)，(0,?-1)，(-1,?13)，求这个二次函数的解析式．
?
24. 已知二次函数y=ax2-4ax+b的图象经过点A(1,?0)，B(x2,?0)，与y轴正半轴交于C点，且S△ABC=2，
求二次函数的解析式．
?
25. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过(-1,?0)，(0,?-3)，(2,?3)三点．
（1）求这条抛物线的表达式．
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
?
26. 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；
请写出满足上述全部特点的二次函数解析式．
参考答案
一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ）
1.
【答案】
A
【解答】
解：根据题意得：抛物线解析式为y=12(x+2)2+1，
故选A
2.
【答案】
B
【解答】
解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
抛物线过(-1,?0)，(0,?-3)，(3,?0)，
所以a-b+c=0c=-39a+3b+c=0，
解得a=1，b=-2，c=-3，
这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3．
故选B．
3.
【答案】
D
【解答】
解：∵ 一个二次函数的图象开口向下，开口的大小与函数y=13x2的图象相同，
故设该二次函数的解析为y=-13(x-h)2+k，
∴ 该函数的顶点坐标为：(h,?k)，
又∵ 该二次函数的顶点为(6,?0)，
∴ h=6，k=0，
∴ 该二次函数的解析为y=-13(x-6)2．
故选D．
4.
【答案】
D
【解答】
解：根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
抛物线过(-1,?0)，(0,?2)，(2,?0)，
所以a-b+c=0c=24a+2b+c=0，
解得a=-1，b=1，c=2，
这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2．
故选D．
5.
【答案】
C
【解答】
解：观察可知，函数图象关于y轴对称，顶点坐标是(0,?-1)，
∴ 设函数解析式为y=ax2-1，
当x=1时，a-1=-0.5，
解得a=12，
y=12x2-1，
所以是二次函数．
故选C．
6.
【答案】
D
【解答】
解：A、由图象可知开口向下，故a<0，此选项错误；
B、抛物线过点(-1,?0)，(2,?0)，根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是12，
而y=-12x2-12x+2的顶点横坐标是--122×(-12)=-12，故此选项错误；
C、y=-12x2-12x+1的顶点横坐标是-12，故此选项错误；
D、y=-x2+x+2的顶点横坐标是12，并且抛物线过点(-1,?0)，(2,?0)，故此选项正确．
故选D．
7.
【答案】
A
【解答】
解：设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵ 当x=0时，y=-5；当x=-1时，y=-4；当x=-2时，y=5，
∴ c=-5①，
a-b+c=-4②，
4a-2b+c=5③，
解由①②③组成的方程组得，a=4，b=3，c=-5，
所以二次函数的关系式为：y=4x2+3x-5．
故选A．
8.
【答案】
D
【解答】
解：抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为(1,?-3)，
根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是(1,?-3)，
且抛物线开口向下．
A，抛物线开口向下，顶点坐标是(1,?5)，故选项A错误；
B，抛物线开口向下，顶点坐标是(-1,?a-3)，故选项B错误；
C，抛物线开口向下，顶点坐标是(-1,?-3)，故选项C错误；
D，抛物线开口向下，顶点坐标是(1,?-3)，故选项D正确．
故选D.
9.
【答案】
C
【解答】
解：a+b+c=0①，a-b+c=0②，
①-②得，2b=0，所以b=0.
①+②得，2a+2c=0，
所以a+c=0，即a=-c(c≠0).
把b=0代入关于x的方程ax2+bx+c=0得，ax2+c=0，
所以x2=-ca=1,
即x1=1?,?x2=-1.
故选C.
二、 填空题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ）
10.
【答案】
-1或3
【解答】
解：根据题意设二次函数的解析式为y=ax2+bx+k，二次函数的图象过A(1,?0)，B(k,?0)，
则a+b+k=0ak2+bk+k=0，
解得a=1，b=-k-1；
二次函数的解析式为y=x2-(k+1)x+k，
当k>1时，函数的图象如图1，
对称轴DE为x=k+12，顶点坐标为(k+12,?-(k-1)24)，
若△ABD是直角三角形，AD=DB，
则AE=DE，k+12-1=(k-1)24，
解得k=3，
当k<0，函数的图象如图2，
同理求出k=-1；
所以D是抛物线的顶点，且△ABD是直角三角形，则k=-1或3；
故答案为-1或3．
11.
【答案】
y=x2-2x或y=x2+2x
【解答】
解：把(0,?0)代入y=x2-2mx+m2-1得m2-1=0，解得m=1或m=-1，
当m=1时，二次函数的解析式为y=x2-2x；当m=-1时，二次函数的解析式为y=x2+2x，
即二次函数的解析式为y=x2-2x或y=x2+2x．
故答案为y=x2-2x或y=x2+2x．
12.
【答案】
y=-29x2+49x+169或y=29x2-49x-169
【解答】
解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,?0)，B(4,?0)两点，
∴ 抛物线的对称轴为直线x=1，
∵ 顶点C到x轴的距离为2，
∴ C点坐标为(1,?2)或(1,?-2)，
设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4)，
把C(1,?2)代入得a×3×(-3)=2，解得a=-29，所以此时抛物线解析式为y=-29(x+2)(x-4)=-29x2+49x+169；
把C(1,?-2)代入得a×3×(-3)=-2，解得a=29，所以此时抛物线解析式为y=29(x+2)(x-4)=29x2-49x-169，
∴ 抛物线解析式为y=-29x2+49x+169或y=29x2-49x-169．
故答案为y=-29x2+49x+169或y=29x2-49x-169．
13.
【答案】
y=-x2+4x-3
【解答】
解：设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1，
将B(1,?0)代入y=a(x-2)2+1，
得a=-1，
函数解析式为y=-(x-2)2+1，
展开得y=-x2+4x-3．
故答案为：y=-x2+4x-3．
14.
【答案】
y=-x2+2x+3
【解答】
解：由题知：点B(2,m)在直线y=x+1上，
故m=2+1=3.
∴ 点B(2，3)和点A(-1,0)在抛物线上，
∴ a-2+c=0，4a+4+c=3，
由上述解得：a=-1，c=3，
故解析式为：y=-x2+2x+3.
故答案为：y=-x2+2x+3.
15.
【答案】
2
【解答】
解：如图所示，
∵ 二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,?0)，(3,?0)和(0,?2)，
∴ a-b+c=0，9a+3b+c=0，c=2，?
解得：a=-23，b=43，c=2.?
则这个二次函数的表达式为y=-23x2+43x+2．
把x=2代入得，y=-23×4+43×2+2=2．
故答案为：2.
16.
【答案】
y=-x2-2x+3
【解答】
解：根据题意，得
9a-3b+c=0c=34a+2b+c=-5，
解得，a=-1b=-2c=3，
∴ 二次函数解析式为y=-x2-2x+3．
故答案是：y=-x2-2x+3．
17.
【答案】
y=2x2+4x或y=-23x2+43x
【解答】
解：根据题意得，与x轴的另一个交点为(2,?0)或(-2,?0)，因此要分两种情况：
(1)过点(-2,?0)，设y=ax(x+2)，则-2=-a，解得：a=2，
∴ 抛物线的解析式为：y=2x2+4x；
(2)过点(2,?0)，设y=ax(x-2)，则-2=3a，解得：a=-23，
∴ 抛物线的解析式为：y=-23x2+43x．
故答案为y=2x2+4x或y=-23x2+43x．
18.
【答案】
(3-52,?3-52)
【解答】
A的坐标是(1,?0)、C坐标是(0,?1)，设出解析式是y＝a(x-1)2，把C的坐标代入得：a(-1)2＝1，
解得：a＝1，
则抛物线的解析式是：y＝(x-1)2；
∵ B的坐标是(1,?1)，
设OB解析式的解析式是y＝kx，则k＝1，则OB的解析式是y＝x．
根据题意得：y=(x-1)2y=x?，
解得：x=3+52y=3+52?（舍去），或x=3-52y=3-52?．
则D的坐标是：(3-52,?3-52)．
三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 10 分 ，共计80分 ）
19.
【答案】
解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，
把C(0,?-3)代入得a×1×(-3)=-3，
解得a=1，
所以这个二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3．
【解答】
解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，
把C(0,?-3)代入得a×1×(-3)=-3，
解得a=1，
所以这个二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3．
20.
【答案】
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得c=2a+b+c=19a+3b+c=5，解得a=1b=-2c=2，
所以抛物线解析式为y=x2-2x+2；
（2）设抛物线解析式为y=ax2+c，
根据题意得a+c=-24a+c=0，解得a=23b=-83，
所以抛物线解析式为y=23x2-83．
【解答】
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得c=2a+b+c=19a+3b+c=5，解得a=1b=-2c=2，
所以抛物线解析式为y=x2-2x+2；
（2）设抛物线解析式为y=ax2+c，
根据题意得a+c=-24a+c=0，解得a=23b=-83，
所以抛物线解析式为y=23x2-83．
21.
【答案】
解：根据题意，
得4a-4+c=-5，a+2+c=4，
解得a=-1，c=3，
即这个二次函数的解析式为y=-x2+2x+3.
【解答】
解：根据题意，
得4a-4+c=-5，a+2+c=4，
解得a=-1，c=3，
即这个二次函数的解析式为y=-x2+2x+3.
22.
【答案】
解：设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3.
∵ 点(2,0)在二次函数图像上，
∴ a(2-1)2-3=0，解得：a=3，
∴ 这个二次函数的解析式为y=3(x-1)2-3，
即y=3x2-6x.
【解答】
解：设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3.
∵ 点(2,0)在二次函数图像上，
∴ a(2-1)2-3=0，解得：a=3，
∴ 这个二次函数的解析式为y=3(x-1)2-3，
即y=3x2-6x.
23.
【答案】
解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵ 二次函数的图象经过(1,?-1)、(0,?-1)，(-1,?13)三点，
∴ a+b+c=-1c=-1a-b+c=13，
解得：a=7b=-7c=-1．
则该二次函数的解析式是：y=7x2-7x-1．
【解答】
解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵ 二次函数的图象经过(1,?-1)、(0,?-1)，(-1,?13)三点，
∴ a+b+c=-1c=-1a-b+c=13，
解得：a=7b=-7c=-1．
则该二次函数的解析式是：y=7x2-7x-1．
24.
【答案】
解：对称轴为直线x=--4a2a=2，
∵ 函数图象与经过点A(1,?0)，B(x2,?0)，
∴ B(3,?0)，AB=3-1=2，
令x=0，则y=b，
∴ S△ABC=12×2?b=2，
∴ b=2，
把A(1,?0)代入二次函数解析式得，a-4a+2=0，
解得a=23，
∴ 二次函数的解析式为：y=23x2-83x+2．
【解答】
解：对称轴为直线x=--4a2a=2，
∵ 函数图象与经过点A(1,?0)，B(x2,?0)，
∴ B(3,?0)，AB=3-1=2，
令x=0，则y=b，
∴ S△ABC=12×2?b=2，
∴ b=2，
把A(1,?0)代入二次函数解析式得，a-4a+2=0，
解得a=23，
∴ 二次函数的解析式为：y=23x2-83x+2．
25.
【答案】
解：（1）由题意得a-b+c=0c=-34a+2b+c=3，
解得a=2b=-1c=-3．
所以这个抛物线的表达式为y=2x2-x-3．
（2）y=2x2-x-3=2(x-14)-258，
所以抛物线的开口向上，对称轴为x=14，顶点坐标为(14,?-258)
【解答】
解：（1）由题意得a-b+c=0c=-34a+2b+c=3，
解得a=2b=-1c=-3．
所以这个抛物线的表达式为y=2x2-x-3．
（2）y=2x2-x-3=2(x-14)-258，
所以抛物线的开口向上，对称轴为x=14，顶点坐标为(14,?-258)
26.
【答案】
y=15x2-85x+3（答案不唯一）．
【解答】
解：此题答案不唯一
设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1其图象与x轴两交点分别是A(x1,?0)，B(x2,?0)，与y轴交点坐标是(0,?ax1x2)．
因为交点式a(x-x1)(x-x2)，
又因为与y轴交点的横坐标为0，
所以a(0+x1)(0+x2)，也就是ax1x2，
∵ 抛物线对称轴是直线x=4，
∴ x2-4=4-x1，即：x1+x2=8 ①
∵ S△ABC=3，∴ (x2-x1)?|ax1x2|=6，即：x2-x1=6|ax1x2|②
①②两式相加减，可得：x2=4+3|ax1x2|，
x1=4-3|ax1x2|，
∵ x1，x2是整数，ax1x2也是整数，
∴ ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3．
当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±17
当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±15
因此，所求解析式为：y=±17(x-7)(x-1)或y=±15(x-5)(x-3)
即：y1=17x2-87x+1，
y2=-17x2+87x-1．
y3=15x2-85x+3，
y4=-15x2+85x-3．