24.2 比例线段 教案
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文档简介
[教学设计]
授课教师
学科
数学
年级
教学内容
24.2比例线段（2）
课型
新授课
教学设计说明
教材分析：
本单元所涉及的比例线段的变形都比较简单，重点在于比例线段性质的基本运用.基本要求是能结合具体图形运用比例线段的性质，对比例线段进行简单的变形。本课主要是两个部分.第一部分是线段的比例中项问题；第二部分是黄金分割及黄金数的有关知识.学情分析：
学生在六年级时已经学过比例的基本性质，本单元第一节课也掌握了利用类比的方法得到了线段的有关比和比例的基本性质.在此基础上学习本节课在一定条件下三角形的面积比与线段比相互转化的过程是很容易实施的，另外，了解黄金分割的意义，欣赏它的美也是学生利于接受的内容.
单元教学目标
知道两条线段的比的意义，理解比例线段及其有关概念；知道比例线段的性质，能运用比例线段的性质对比例式进行简单的变形；了解黄金分割的意义.会运用同高(或等高)的两个三角形的面积的比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化；在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.
教学目标
①会运用同高(或等高)的两个三角形的面积的比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.②会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.③了解黄金分割的美学价值,增强学习数学热情，提高审美情趣.
教学重点
黄金分割的意义.
教学难点
熟练并灵活运用黄金分割的意义解题．
教学环节及对应目标
师生活动及设计意图
评价关注点
一、情景引入对应目标：3
1．观察
（1）
请同学们欣赏一段芭蕾舞表演，
对学生视觉上形成美的冲击.师:“芭蕾舞在跳法上和其他舞种有什么区别吗？”
生:“要掂起脚尖.”师:“你们想知道这是为什么吗？”让学生有了强烈的求知欲.（2）
展示四个国家的国旗.
(?http:?/??/?wxwc.myrice.com?/?psd?/?PS23.htm?)
(?http:?/??/?www.qianlong.com?/?3050?/?2003-7-23?/?53@961523.htm?)
(?http:?/??/?vip.rongshuxia.com?/?rss?/?bbs_viewart.rs?bid=108649&aid=1829?)
(?http:?/??/?www.huawen.com?/?sg?/?general?/?index.shtml?)中国
朝鲜
新西兰
新加坡2．思考师：请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来.师：为什么都会选择五角星这个图案呢？除了政治因素外，还有一个非常重要的原因就是：五角星是一个非常完美的图案.古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来探究五角星中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系.
【设计意图】通过创设情境“四个国家的国旗中都有五角星这个图案”，就会使同学们认识到五角星这个图案不一般，也就会非常想知道五角星中部分与部分以及部分与整体之间到底蕴涵着怎样的一种关系.有了探究的欲望，就会很乐意完成下面的做一做.3．讨论度量点C到点A、B的距离，计算和的值，你发现了什么？【设计意图】（通过学生亲自动手操作、计算，最终发现了＝，即部分与部分之比等于部分与整体之比，符合毕达哥拉斯的审美观点，很自然地就引出了黄金分割的概念.）
是否调动探究欲望
二、学习新课对应目标：2对应目标：1
1．概念辨析例题1
如图，线段AB的长度是，点P为线段AB上的一点，，求线段AP的长.
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点AP与AB的比值为，近似值为0.618，这个比值称做黄金分割数（简称黄金数）.师：下面就让我们来解决刚才的问题，若由黄金分割点来看，理想身材的黄金分割点是肚脐，即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身的长度与整个身高的比值越接近0.618，就会越给別人有一种美的感觉.但是很可惜，一般人的这个比值大约只有0.58到0.60左右（腿长的人会有较高的比值），由此可见，芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美感.现实生活中这样的例子也很多，比如：女性穿高跟鞋，会让人体看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中，其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神，她的上半身和下半身的比率正是0.618.
【设计意图】当学生了解了黄金分割的概念之后，再来解决芭蕾舞演员跳舞要掂起脚尖的问题，并欣赏雕像-----维纳斯女神，能使学生感受到黄金分割的美学价值.
2．例题分析问题一（1）
线段AB有没有除点P以外的黄金分割点呢？
（2）
点D应满足怎样的条件？
（3）
在五角星中点D是线段AB的黄金分割点吗？（4）
你还发现了什么？【设计意图】（这四个问题是有层次性的，问题（1）的结论是显然的，但学生得到的方法却是多样的，有的是凭直觉，有的是利用轴对称得到的，有的是采用旋转方法得到的；问题（2）进一步强化了黄金分割的概念；有了问题1的铺垫，问题（3）、（4）的结论很容易得出，这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形，进一步感受到了黄金分割的美.）问题二师：下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用.请同学们观察两幅照片，哪一更具有美感呢？师：你们知道这是为什么吗？因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力的感觉，为了打破这种感觉，我们在构图的时候，就需要灵活地运用黄金分割来构图，把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线，人们发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”.【设计意图】学生选择图（2）完全是一种直觉，并不明白其中的原因，当把上述道理讲给学生听时，他们对黄金分割的美学价值有更深的认识.问题三师：下面再来看看黄金分割在建筑上的应用.（展示巴黎埃斐尔铁塔、上海东方明珠电视塔、古埃及金字塔三幅图片，讲述其中蕴涵的黄金分割比例，体会黄金分割在建筑上的应用价值和人文价值.）问题四师：同学们已经了解到线段的黄金分割是完美的分割，事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现象.请同学们在下面十个矩形中找出你看起来最和谐的矩形.（请若干个同学来找出他认为最合乎美的矩形，最后大部分同学将目标锁定在第①、⑤、⑧和⑩这四个矩形上，此时告诉他们这四个矩形分别是5×8，8×13，13×21，21×34的矩形，请他们用计算器算出这四个矩形的宽与长的比值（结果保留3个有效数字），结果分别是：0.625，0.615，0.619，0.618，这时同学们惊奇地发现这四个矩形的宽与长的比值均接近于黄金比，从而引出黄金矩形的概念.【设计意图】黄金矩形的概念并不是直接告诉学生的，而是通过亲身经历这么一个活动过程，自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系.）矩形的宽与长的比为黄金比，这样的矩形称之为黄金矩形.师：古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形，他们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形状，其中最著名的就是巴特农神庙.如果把巴特农神庙的轮廓抽象为矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇的发现，，点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？【设计意图】这里涉及到比例变形的一些技巧，要给学生时间进行充分的交流.最终发现巴特农神庙的轮廓为黄金矩形，展示了黄金分割的文化价值.
师：黄金矩形之所以称为黄金矩形，并不仅仅因为它的宽与长的比等于黄金比，更重要的是：由上述方法作图后得到的新的矩形BCFE也为黄金矩形（原因留给同学们课后思考）.巴特农神庙之所以神奇，并不仅仅因为它的的轮廓恰好为黄金矩形，它有更深层次的美.【设计意图】动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象.
通过动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象，同学们已经被巴特农神庙中所蕴涵的建筑艺术所折服，使学生再一次感受到了黄金分割和黄金矩形的美学价值.
3．问题拓展例题2
已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
求证：.证略尝试：（1）作顶角为的等腰三角形ABC;（2）分别量出底边BC与腰AB的长度;（3）作的平分线，交AC于点D，量出的底边CD的长度.最后，分别求出与的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）问：比值是多少？所以我们把顶角为的三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质：（1）;（2）设BD是的底角的平分线，则也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点;（3）如再作的平分线，交BD于点E，则也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形.
理解黄金分割相关概念认识黄金分割的美学价值理解黄金矩形的概念及意义会建立面积比与线段比的联系
三、巩固练习对应目标：1
已知点C是线段AB的黄金分割点AC＝，且AC＞BC，求线段AB与BC的长.【设计意图】黄金分割是进行数学文化教育的良好素材，结合比例线段的研究，引进运用黄金分割解题，体现数学与生活的联系.
掌握黄金分割的概念，并会运用.
四、课堂小结对应目标：3
1、今天我们共同研究了什么数学知识？2、和以往的数学知识相比，今天的内容有什么不同？【设计意图】通过概括总结，再次体验数学与生活的联系，激发学生学习数学的兴趣和信心.
能条理清晰地用数学语言总结所学知识.
五、作业布置对应目标：1，2，3
书后练习1、2、3，练习册24.2（2）【设计意图】巩固所学知识，内化提升.
会正确运用所学知识解题.
板书：
24.2比例线段（2）概念：
例题二黄金分割黄金分割点黄金分割数（黄金数）例题一
练习一
反思：本节课的研究对象是“黄金分割”，我采用从“美学”——“数学”的逻辑顺序去阐述这个课题，能够极大的提高学生探究的兴趣.并且引用了四个生活中的例子，使学生在不断享受“美”的过程中掌握知识，体验数学的社会功能.
A
P
B
6
授课教师
学科
数学
年级
教学内容
24.2比例线段（2）
课型
新授课
教学设计说明
教材分析：
本单元所涉及的比例线段的变形都比较简单，重点在于比例线段性质的基本运用.基本要求是能结合具体图形运用比例线段的性质，对比例线段进行简单的变形。本课主要是两个部分.第一部分是线段的比例中项问题；第二部分是黄金分割及黄金数的有关知识.学情分析：
学生在六年级时已经学过比例的基本性质，本单元第一节课也掌握了利用类比的方法得到了线段的有关比和比例的基本性质.在此基础上学习本节课在一定条件下三角形的面积比与线段比相互转化的过程是很容易实施的，另外，了解黄金分割的意义，欣赏它的美也是学生利于接受的内容.
单元教学目标
知道两条线段的比的意义，理解比例线段及其有关概念；知道比例线段的性质，能运用比例线段的性质对比例式进行简单的变形；了解黄金分割的意义.会运用同高(或等高)的两个三角形的面积的比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化；在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.
教学目标
①会运用同高(或等高)的两个三角形的面积的比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.②会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.③了解黄金分割的美学价值,增强学习数学热情，提高审美情趣.
教学重点
黄金分割的意义.
教学难点
熟练并灵活运用黄金分割的意义解题．
教学环节及对应目标
师生活动及设计意图
评价关注点
一、情景引入对应目标：3
1．观察
（1）
请同学们欣赏一段芭蕾舞表演，
对学生视觉上形成美的冲击.师:“芭蕾舞在跳法上和其他舞种有什么区别吗？”
生:“要掂起脚尖.”师:“你们想知道这是为什么吗？”让学生有了强烈的求知欲.（2）
展示四个国家的国旗.
(?http:?/??/?wxwc.myrice.com?/?psd?/?PS23.htm?)
(?http:?/??/?www.qianlong.com?/?3050?/?2003-7-23?/?53@961523.htm?)
(?http:?/??/?vip.rongshuxia.com?/?rss?/?bbs_viewart.rs?bid=108649&aid=1829?)
(?http:?/??/?www.huawen.com?/?sg?/?general?/?index.shtml?)中国
朝鲜
新西兰
新加坡2．思考师：请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来.师：为什么都会选择五角星这个图案呢？除了政治因素外，还有一个非常重要的原因就是：五角星是一个非常完美的图案.古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来探究五角星中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系.
【设计意图】通过创设情境“四个国家的国旗中都有五角星这个图案”，就会使同学们认识到五角星这个图案不一般，也就会非常想知道五角星中部分与部分以及部分与整体之间到底蕴涵着怎样的一种关系.有了探究的欲望，就会很乐意完成下面的做一做.3．讨论度量点C到点A、B的距离，计算和的值，你发现了什么？【设计意图】（通过学生亲自动手操作、计算，最终发现了＝，即部分与部分之比等于部分与整体之比，符合毕达哥拉斯的审美观点，很自然地就引出了黄金分割的概念.）
是否调动探究欲望
二、学习新课对应目标：2对应目标：1
1．概念辨析例题1
如图，线段AB的长度是，点P为线段AB上的一点，，求线段AP的长.
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点AP与AB的比值为，近似值为0.618，这个比值称做黄金分割数（简称黄金数）.师：下面就让我们来解决刚才的问题，若由黄金分割点来看，理想身材的黄金分割点是肚脐，即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身的长度与整个身高的比值越接近0.618，就会越给別人有一种美的感觉.但是很可惜，一般人的这个比值大约只有0.58到0.60左右（腿长的人会有较高的比值），由此可见，芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美感.现实生活中这样的例子也很多，比如：女性穿高跟鞋，会让人体看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中，其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神，她的上半身和下半身的比率正是0.618.
【设计意图】当学生了解了黄金分割的概念之后，再来解决芭蕾舞演员跳舞要掂起脚尖的问题，并欣赏雕像-----维纳斯女神，能使学生感受到黄金分割的美学价值.
2．例题分析问题一（1）
线段AB有没有除点P以外的黄金分割点呢？
（2）
点D应满足怎样的条件？
（3）
在五角星中点D是线段AB的黄金分割点吗？（4）
你还发现了什么？【设计意图】（这四个问题是有层次性的，问题（1）的结论是显然的，但学生得到的方法却是多样的，有的是凭直觉，有的是利用轴对称得到的，有的是采用旋转方法得到的；问题（2）进一步强化了黄金分割的概念；有了问题1的铺垫，问题（3）、（4）的结论很容易得出，这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形，进一步感受到了黄金分割的美.）问题二师：下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用.请同学们观察两幅照片，哪一更具有美感呢？师：你们知道这是为什么吗？因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力的感觉，为了打破这种感觉，我们在构图的时候，就需要灵活地运用黄金分割来构图，把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线，人们发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”.【设计意图】学生选择图（2）完全是一种直觉，并不明白其中的原因，当把上述道理讲给学生听时，他们对黄金分割的美学价值有更深的认识.问题三师：下面再来看看黄金分割在建筑上的应用.（展示巴黎埃斐尔铁塔、上海东方明珠电视塔、古埃及金字塔三幅图片，讲述其中蕴涵的黄金分割比例，体会黄金分割在建筑上的应用价值和人文价值.）问题四师：同学们已经了解到线段的黄金分割是完美的分割，事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现象.请同学们在下面十个矩形中找出你看起来最和谐的矩形.（请若干个同学来找出他认为最合乎美的矩形，最后大部分同学将目标锁定在第①、⑤、⑧和⑩这四个矩形上，此时告诉他们这四个矩形分别是5×8，8×13，13×21，21×34的矩形，请他们用计算器算出这四个矩形的宽与长的比值（结果保留3个有效数字），结果分别是：0.625，0.615，0.619，0.618，这时同学们惊奇地发现这四个矩形的宽与长的比值均接近于黄金比，从而引出黄金矩形的概念.【设计意图】黄金矩形的概念并不是直接告诉学生的，而是通过亲身经历这么一个活动过程，自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系.）矩形的宽与长的比为黄金比，这样的矩形称之为黄金矩形.师：古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形，他们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形状，其中最著名的就是巴特农神庙.如果把巴特农神庙的轮廓抽象为矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇的发现，，点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？【设计意图】这里涉及到比例变形的一些技巧，要给学生时间进行充分的交流.最终发现巴特农神庙的轮廓为黄金矩形，展示了黄金分割的文化价值.
师：黄金矩形之所以称为黄金矩形，并不仅仅因为它的宽与长的比等于黄金比，更重要的是：由上述方法作图后得到的新的矩形BCFE也为黄金矩形（原因留给同学们课后思考）.巴特农神庙之所以神奇，并不仅仅因为它的的轮廓恰好为黄金矩形，它有更深层次的美.【设计意图】动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象.
通过动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象，同学们已经被巴特农神庙中所蕴涵的建筑艺术所折服，使学生再一次感受到了黄金分割和黄金矩形的美学价值.
3．问题拓展例题2
已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
求证：.证略尝试：（1）作顶角为的等腰三角形ABC;（2）分别量出底边BC与腰AB的长度;（3）作的平分线，交AC于点D，量出的底边CD的长度.最后，分别求出与的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）问：比值是多少？所以我们把顶角为的三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质：（1）;（2）设BD是的底角的平分线，则也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点;（3）如再作的平分线，交BD于点E，则也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形.
理解黄金分割相关概念认识黄金分割的美学价值理解黄金矩形的概念及意义会建立面积比与线段比的联系
三、巩固练习对应目标：1
已知点C是线段AB的黄金分割点AC＝，且AC＞BC，求线段AB与BC的长.【设计意图】黄金分割是进行数学文化教育的良好素材，结合比例线段的研究，引进运用黄金分割解题，体现数学与生活的联系.
掌握黄金分割的概念，并会运用.
四、课堂小结对应目标：3
1、今天我们共同研究了什么数学知识？2、和以往的数学知识相比，今天的内容有什么不同？【设计意图】通过概括总结，再次体验数学与生活的联系，激发学生学习数学的兴趣和信心.
能条理清晰地用数学语言总结所学知识.
五、作业布置对应目标：1，2，3
书后练习1、2、3，练习册24.2（2）【设计意图】巩固所学知识，内化提升.
会正确运用所学知识解题.
板书：
24.2比例线段（2）概念：
例题二黄金分割黄金分割点黄金分割数（黄金数）例题一
练习一
反思：本节课的研究对象是“黄金分割”，我采用从“美学”——“数学”的逻辑顺序去阐述这个课题，能够极大的提高学生探究的兴趣.并且引用了四个生活中的例子，使学生在不断享受“美”的过程中掌握知识，体验数学的社会功能.
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