5.1.1 任意角（26张PPT）

(共26张PPT)
第五章
三角函数
5.1.1任意角
1.在初中角是如何定义的？
定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角。
顶点
边
边
【新课引入】
o
A
B
始边　
终边
顶点
定义2：平面内一条射线绕着它的端点旋所成的图形叫做角。
2.过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是0°～3600范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广.
转体三周半指的是多少度？
这些例子所提到的角不仅不在范围[00
,3600
]
内，而且方向不同，这就需要将角的概念进行推广。想想用什么办法才能对角进行推广呢？
运
动
思考1：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.我们将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？
知识探究（一）：角的概念的推广
思考2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？
规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角。即零角的始边和终边重合。
这样，就将角的概念推广到了
任意角：包括正角，负角和零角。
旋转方向相同且旋转量相等的两个角相等。
画图表示一个大小一定的角:
(1)画一条射线作为角的始边;
(2)由角的正负确定角的旋转方向;
(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量;
(4)画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.
β
B2
γ
A
B1
α
O
思考3：度量一个角的大小,既要考虑旋转方向,
又要考虑旋转量,通过上述规定,角的范围
就扩展到了任意大小.
对于α＝210°，
＝－150°,
＝－660°，你能用图形表
示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？
演示角
思考4：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？
思考5：任意两个角的数量大小可以相加、相
减,如50°＋80°=130°,50°－80°=－30°,
你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
以50°角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80°所成的角.
450°.
－120°，
角的加法和减法:
设α，β是任意两个角，
(1)α+β:把角α的终边旋转角β；
(2)α-β：α-β=α+(-β).
注：把射线OA绕端点O按不同的方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为-α。
思考6：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？
k·360°（k∈Z）
演示
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意的角，角的终边可能落在哪些位置？
x
o
y
思考2：下列各角：-50°,405°,210°,
-200°,－450°分别是第几象限的角？
－50°
x
y
o
x
y
o
210°
－450°
x
y
o
405°
x
y
o
－200°
x
y
o
归纳：
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？
思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
思考5：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？
x
y
o
知识探究（三）：终边相同的角
思考1
390?
，?330?，30?
，1470?
，?1770?是第几象限的角？这些角的终边有什么关系？
x
y
o
300
它们都是第一象限的角，角的终边相同
-330o
390o
300
思考2：这些角与30°角在数量上相差多少?
。除了这些角而外还有哪些角与30°角终边相同？
相差360o的整数倍
2×360o+30o
-2×360o+30o
3×360o+30o
-3×360o+30o
4×360o+30o
-4×360o+30o
……，
……，
390°=30°+1×360°
-330°=30°+（-1）×360°
1470°=30°+4×360°
-1770°=30°+（-5）×360°
思考3：所有与30°角终边相同的角，连同－30°角在内，可构成一个集合S，
你能用描述法表示集合S吗？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
思考4：一般地，所有与角α终边相同的角，
连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？
S={β|β=
30°
＋k·360°,　k∈Z}
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}
注意：
⑴
k∈Z
⑵
α是任一角；
⑶
终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍。
理论迁移
例1
在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
解：－950°12′=129°48′－360°×
3
所以，在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.
理论迁移
S=S1US2
＝{β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z}
＝{β|β=90°+2k·180°k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)180°k∈Z}
={β|β=90°+n·180°，n∈Z}.
例2
写出终边在y轴上的角的集合.
解：在0°～360”范围内，终边在y轴上的角有两个，
即90°，270°角(图5.1-7)。
因此，所有与90°角终边相同的角构成集合
S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z}，
而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2={β|β=270°+k·360°，k∈Z}，
于是，终边在y轴上的角的集合
理论迁移
S中适合不等式一360°≤β<720°的元素β有
45°-2×180°=-315°，
45°-1×180°=—135°，
45°+0×180°=45°，
45°+1×180°=225°，
45°+2×180°=405°，
45°+3×180°=585°.
例3
写出终边在直线y=x上的角的集合S.S中满足不等式
一360°≤β<720”的元素β有哪些？
解：如图5.1-8，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0～360范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°，225°.
因此，终边在直线y=x上的角的集合
S=｛β|β=45°+k·360°，k∈Z｝∪
｛β|β=225°+k·360°，k∈Z}
＝｛β|β=45°+n·180°，n∈Z}.
小结
1、角的定义
2、任意角的概念
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
3、象限角
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
3)终边落在第几象限就是第几象限角
4、
终边与
角α相同的角