北师大版九年级下册数学 3.4圆周角与圆心角的关系（Word版 含解析）

3.4圆周角与圆心角的关系
一．选择题
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C＝120°．若AD＝2，则AB的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
2．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝（　　）
A．15° B．40° C．35° D．75°
3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，则∠A+∠D＝（　　）
A．120° B．95° C．105° D．150°
5．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠OFE的度数是（　　）
A．30° B．20° C．40° D．35°
6．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝2，则弦BD的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．2
7．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小为（　　）
A．130° B．100° C．120° D．110°
9．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于（　　）
A．20° B．25° C．30° D．32.5°
10．如图，BC为⊙O直径，弦AC＝2，弦AB＝4，D为⊙O上一点，I为AD上一点，且DC＝DB＝DI，AI长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．如图，AB是⊙C的直径，点C、D在⊙C上，若∠ACD＝33°，则∠BOD＝　 　．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若AB＝AD，∠C＝116°，则∠ABD＝　 　°．
13．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE　 　．
14．如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M是OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E．若DE＝（EM＞MC），则sin∠EOM的值为　 　．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A＝50°，则∠E+∠F＝　 　．
三．解答题
16．如图，在⊙O中．
（1）若＝，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数；
（2）若⊙O的半径为13，且BC＝10，求点O到BC的距离．
17．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
参考答案
一．选择题
1．解：
连接OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠A＝60°，
∵OD＝OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OA，
∵AD＝2，
∴OA＝OD＝OB＝2，
∴AB＝2+2＝4，
故选：D．
2．解：∵∠APD＝∠A+∠C，
又∵∠A＝40°，∠APD＝75°，
∴∠C＝∠APD﹣∠A＝75°﹣40°＝35°，
∴∠B＝∠C＝35°．
故选：C．
3．解：∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠ADC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝50°，
故选：C．
4．解：∵C、D是上的三等分点，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠BOD＝60°，∠A＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠A+∠D＝120°，
故选：A．
5．解：如图，连接BF，OE．
∵EF＝EB，OE＝OE，OF＝OB，
∴△OEF≌△OEB（SSS），
∴∠OFE＝∠OBE，
∵OE＝OB＝0F，
∴∠OEF＝∠OFE＝∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，
∵∠ABF＝∠AOF＝20°，
∴∠OFB＝∠OBE＝20°，
∵∠OFB+∠OBF+∠OFE+∠OBE+∠BEF＝180°，
∴4∠EFO+40°＝180°，
∴∠OFE＝35°，
故选：D．
6．解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．
∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，
∴∠BCD＝135°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠E＝90°，CD＝2，
∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，
在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，
∴BD＝＝＝2，
故选：D．
7．解：连接OD、OE，
∵OC＝OA，
∴△OAC是等腰三角形，
∵点D为弦AC的中点，
∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，
设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，
∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，
∴∠OEC＝∠OCE＝40°+x，
∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，
∴∠OED＜20°+x，
∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+x）﹣（20°+x）＝20°，
∵∠CED＜∠ABC＝40°，
∴20°＜∠CED＜40°
故选：C．
8．解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE＝50°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠AOB＝2∠ACD＝130°，
故选：A．
9．解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，
故选：A．
10．解：如图，连接IC，作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，IG⊥BC于G．
∵DB＝DC，
∴＝，∠DBC＝∠DCB，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DI＝DC，
∴∠DIC＝∠DCI，
∵∠DIC＝∠DAC+∠ACI，∠DCI＝∠DCB+∠ICB，∠DBC＝∠DAC，
∴∠ICA＝∠ICB，
∴点I为△ABC内心，
∴IE＝IF＝IG，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵S△ABC＝?AB?AC＝?IE?（AB+AC+BC），
∴IE＝3﹣，
∵∠IAE＝∠AIE＝45°，
∴AI＝IE＝3﹣，
故选：D．
二．填空题
11．解：∵∠AOD＝2∠ACD，∠ACD＝33°，
∴∠AOD＝66°，
∴∠BOD＝180°﹣66°＝114°，
故答案为114°．
12．解：∵∠BAD+∠C＝180°，∠C＝116°，
∴∠BAD＝180°﹣116°＝64°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣64°）＝58°，
故答案为：58°．
13．解：连接OC、OE、BD，OE与BD交于点F，如图所示：
∵AC＝BC＝5，O为AB的中点，
∴OA＝OB＝3，OC⊥AB，
∴OC＝＝＝4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∴AD⊥BD，
∴BD＝＝＝，
∴AD＝＝＝，
∵E为的中点，
∴OE⊥BD，
∴OE∥AD，
∵OA＝OB，
∴OF为△ABD的中位线，
∴DF＝BF＝BD＝，OF＝AD＝，
∴EF＝OE﹣OF＝3﹣＝，
∴DE＝＝＝；
故答案为：．
14．解：∵DC为⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，
∵DC＝8，DE＝，
∴EC＝＝＝7．
设EM＝x，由于M为OB的中点，
∴BM＝2，AM＝6
∴AM?MB＝x?（7﹣x），（3分）
即6×2＝x（7﹣x），x2﹣7x+12＝0
解这个方程，得x1＝3，x2＝4
∵EM＞MC
∴EM＝4
∵OE＝EM＝4
∴△OEM为等腰三角形
过E作EF⊥OM于F，垂足为F，
则OF＝OM＝1
∴EF＝＝＝，
∴sin∠EOM＝＝；
故答案为：．
15．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，
∴∠EDC+∠FBC＝180°，
∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
三．解答题
16．解：（1）∵＝，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，
∴∠A＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴∠BOC＝2∠A＝40°；
（2）作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝5，
在Rt△OBH中，OH＝＝＝12，
即点O到BC的距离为12．
17．（1）证明：连接OD，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
∵OB＝OD，OC＝OD，
∴△BOD和△COD是等边三角形，
∴OB＝BD＝DC＝OC，
∴四边形OBDC是菱形；
（2）解连接OA，
∵OB＝OA，∠ABO＝15°，
∴∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，
∴AC＝．
18．证明：（1）∵AC＝BD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠ADB＝∠CAD，
∴AE＝DE；
（2）作直径CF，连接DF，如图2，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，
∴∠ACB+∠F＝90°，
∵CF为直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠FCD＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD，
即∠OCD＝∠ACB．