湘教版七年级数学下册课件：3.1 多项式的因式分解（共16张ppt）
文档属性
| 名称 | 湘教版七年级数学下册课件：3.1 多项式的因式分解（共16张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-20 20:48:28 | ||
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文档简介
第3章 因式分解
3.1 多项式的因式分解
知识回顾
1. 整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式.
(2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an.
(3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
2. 乘法公式有哪些?
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2.
(2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2.
情景引入
21 等于 3 乘哪个整数？
21＝3×7
x2-1等于x+1乘哪个多项式？
对于整数21与3，有整数7使得21＝3×7，我们把3叫作21的一个因数. 同理，7也是21的一个因数.
对于多项式x2-1与x+1，有x-1使得 ，我们把x+1叫作x2-1的一个因式，同理x-1也是x2-1的一个因式．
获取新知
因式分解
一般地，对于两个多项式 f 与g，如果有多项式h使得f =gh，那么我们把g叫做 f 的一个因式.此时，h也是f 的一个因式.
把x2-1写成( x+1 )( x-1 )的形式叫做把这个多项式因式分解.
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.
获取新知
可以看出，因式分解与整式乘法其实是两种互逆的变形.
即
x2-1
(x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
为什么要把一个多项式因式分解呢？
说明：从左到右是因式分解，其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。
新知探究
万里长城是由砖砌成的.不少房子也是用砖砌成的.因此，砖是基本建筑块之一.
类似地，在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”.
例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称这样的正整数为质数或素数.
素数就是正整数集中的“基本建筑块”：每一个大于1的正整数都能表示成若干个素数的乘积的形式.
新知探究
例如 12=2×2×3， ①
30=2×3×5 ②
有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为
2×3=6，
进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得
同样地，在系数为有理数(或系数为实数)的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：
每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁.
新知探究
例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程，解一元二次不等式等，都需要把多项式因式分解.
因式分解还可以在许多实际问题中简化计算.
例题讲解
【例1】下列各式由左边到右边的边形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
（1）a2+2ab+b2=( a+b )2；
（2）m2+m-4=( m+3 )( m-2 )+2.
解：（1）是.因为从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2表示成了a+b与a+b乘积的形式.
（2）不是.因为( m+3 )( m-2 )+2不是几个多项式乘积的形式.
例题讲解
【例2】检验下列因式分解是否正确.
（1）x2+xy=x( x+y )；
（2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)；
（3）2m2-n2=( 2m-n )( 2m+n ).
解：（1）因为x( x+y )=x2+xy，所以（1）正确；
（2）因为( a-2 )( a-3 )=a2-5a+6，所以（2）正确；
（3）因为( 2m-n )( 2m+n )=4m2-n2≠2m2-n2，所以（3）不正确.
例题讲解
随堂演练
1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2)2x(x-3y)=2x2-6xy
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1
(4)x2+4x+4=(x+2)2
(5)(a-3)(a+3)=a2-9
(6)m2-42=(m+4)(m-4)
(7)2πR+ 2 πr= 2π(R+r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
整式乘法
因式分解
因式分解
随堂演练
2.把下列各式写成乘积的形式:
(1)1-x2
(2)4a2+4a+1
(3)4x2-8x
(4)2x2y-6xy2
(5)1-4x2
(6)x2-14x+49
=(1+x)(1-x)
=(2a+1)2
=4x(x-2)
=2xy(x-3y)
=(1+2x)(1-2x)
=(x-7)2
随堂演练
3．x2-px+ab=(x+a)(x+b)，则p=( )
A.-a+b B.-a-b
C.a-b D.a+b
【解析】选B.(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,所以-p=a+b,即p=-(a+b)=-a-b.
4．如果m=－25.6,a=53.2,b=66.4,c=－19.6，则代数式ma+mb+mc=_______.
【解析】ma+mb+mc=m(a+b+c)=－25.6×(53.2+66.4－19.6) =－2 560.
答案：－2 560
随堂演练
5．一个多项式因式分解结果为-a(a+3)(a-3)，则这个多项式是_______.
【解析】根据因式分解与整式乘法是互逆变形，所以
-a(a+3)(a-3)=-a(a2-9)=-a3+9a.
答案：-a3+9a
课后小结
本节课我们主要学习了因式分解的意义及因式分解与整式乘法的关系.
在对因式分解意义的理解上要注意：
①等式的左边必须是多项式；
②分解的结果必须是几个整式的积；
③必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.
3.1 多项式的因式分解
知识回顾
1. 整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式.
(2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an.
(3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
2. 乘法公式有哪些?
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2.
(2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2.
情景引入
21 等于 3 乘哪个整数？
21＝3×7
x2-1等于x+1乘哪个多项式？
对于整数21与3，有整数7使得21＝3×7，我们把3叫作21的一个因数. 同理，7也是21的一个因数.
对于多项式x2-1与x+1，有x-1使得 ，我们把x+1叫作x2-1的一个因式，同理x-1也是x2-1的一个因式．
获取新知
因式分解
一般地，对于两个多项式 f 与g，如果有多项式h使得f =gh，那么我们把g叫做 f 的一个因式.此时，h也是f 的一个因式.
把x2-1写成( x+1 )( x-1 )的形式叫做把这个多项式因式分解.
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.
获取新知
可以看出，因式分解与整式乘法其实是两种互逆的变形.
即
x2-1
(x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
为什么要把一个多项式因式分解呢？
说明：从左到右是因式分解，其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。
新知探究
万里长城是由砖砌成的.不少房子也是用砖砌成的.因此，砖是基本建筑块之一.
类似地，在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”.
例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称这样的正整数为质数或素数.
素数就是正整数集中的“基本建筑块”：每一个大于1的正整数都能表示成若干个素数的乘积的形式.
新知探究
例如 12=2×2×3， ①
30=2×3×5 ②
有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为
2×3=6，
进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得
同样地，在系数为有理数(或系数为实数)的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：
每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁.
新知探究
例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程，解一元二次不等式等，都需要把多项式因式分解.
因式分解还可以在许多实际问题中简化计算.
例题讲解
【例1】下列各式由左边到右边的边形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
（1）a2+2ab+b2=( a+b )2；
（2）m2+m-4=( m+3 )( m-2 )+2.
解：（1）是.因为从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2表示成了a+b与a+b乘积的形式.
（2）不是.因为( m+3 )( m-2 )+2不是几个多项式乘积的形式.
例题讲解
【例2】检验下列因式分解是否正确.
（1）x2+xy=x( x+y )；
（2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)；
（3）2m2-n2=( 2m-n )( 2m+n ).
解：（1）因为x( x+y )=x2+xy，所以（1）正确；
（2）因为( a-2 )( a-3 )=a2-5a+6，所以（2）正确；
（3）因为( 2m-n )( 2m+n )=4m2-n2≠2m2-n2，所以（3）不正确.
例题讲解
随堂演练
1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2)2x(x-3y)=2x2-6xy
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1
(4)x2+4x+4=(x+2)2
(5)(a-3)(a+3)=a2-9
(6)m2-42=(m+4)(m-4)
(7)2πR+ 2 πr= 2π(R+r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
整式乘法
因式分解
因式分解
随堂演练
2.把下列各式写成乘积的形式:
(1)1-x2
(2)4a2+4a+1
(3)4x2-8x
(4)2x2y-6xy2
(5)1-4x2
(6)x2-14x+49
=(1+x)(1-x)
=(2a+1)2
=4x(x-2)
=2xy(x-3y)
=(1+2x)(1-2x)
=(x-7)2
随堂演练
3．x2-px+ab=(x+a)(x+b)，则p=( )
A.-a+b B.-a-b
C.a-b D.a+b
【解析】选B.(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,所以-p=a+b,即p=-(a+b)=-a-b.
4．如果m=－25.6,a=53.2,b=66.4,c=－19.6，则代数式ma+mb+mc=_______.
【解析】ma+mb+mc=m(a+b+c)=－25.6×(53.2+66.4－19.6) =－2 560.
答案：－2 560
随堂演练
5．一个多项式因式分解结果为-a(a+3)(a-3)，则这个多项式是_______.
【解析】根据因式分解与整式乘法是互逆变形，所以
-a(a+3)(a-3)=-a(a2-9)=-a3+9a.
答案：-a3+9a
课后小结
本节课我们主要学习了因式分解的意义及因式分解与整式乘法的关系.
在对因式分解意义的理解上要注意：
①等式的左边必须是多项式；
②分解的结果必须是几个整式的积；
③必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.