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第五章
二元一次方程组
5.1
认识二元一次方程组
1.
了解二元一次方程，二元一次方程组及其解的定义.
2.
会判断一对数值是不是某个二元一次方程组的解.
学习目标
复习回顾
我们已经学习了一元一次方程，你能举出一个一元一次方程的例子吗？
为什么它叫一元一次方程？
1.
例如：2x+5=0
2.
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程.
分析：
设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹.你能根据条件列出怎样的方程呢？
小马说：你还累？这么大的个，才比我多驮了2个.
老牛说：哼!我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！
任务
阅读课本P103-P104，完成学案上板块一的三个问题。
5x+3y=34
（1）我们八个人去红山公园玩。由此你得到什么方程？
x+y=8
（2）买门票花了34元，每张成人票5元，儿童票3元。由此你得到怎样的方程。
分析：他们中有x个成人，y个儿童。
新知探究
大家观察下面的4个方程，是我们学过的一元一次方程吗？
以上方程有什么特征？
2x=3y
5x=7y+1
x-y=2
x+1=2(y-1)
大家认为下面方程是二元一次方程吗？
xy
+
8
=
5x
xy这个项的次数是几？
什么是二元一次方程？
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是
1
的方程叫做二元一次方程.
总结
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是
1
的方程叫做二元一次方程.
二元一次方程
二元一次方程的判断条件：
(3)
(1)
3y-2x
=z+5
(4)
(5)
(2)
(6)
3
-
2xy
=1
是
不是
不是
不是
不是
不是
例1
判断下列方程是否为二元一次方程：
(7)
4x+
π
=0
(8)
2x=1-3y
不是
是
探究新知
含有字母系数的方程，需满足“未知数的系数不等于零”
想一想
（1）ax+y=6
a为系数，那么ax+y=6是二元一次方程吗？
例2
已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________．
解析：根据题意得
|m|＝1且|m－1|≠0，
2n－1＝1，
解得m＝－1，n＝1，
所以m＋n＝0.
方法小结：由方程是二元一次方程可知：
(1)未知数的系数不为0；
(2)未知数的次数都是1.
0
探究新知
（2）xm+yn=6
是二元一次方程,m、n要满足什么条件？
1.在前面的实际问题中，这两个方程中x的含义相同吗？分别是什么含义？y呢？
2.若x,y同时满足这两个方程，用什么方式把这两个方程联立起来，即写成什么形式呢？
3.如果两个方程中相同字母所代表的含义相同，把它们联立起来，就组成了二元一次方程组，你能归纳出二元一次方程组的概念吗？
任务
阅读课本P104页议一议，完成以下三个问题以及例3。
想一想
①二元一次方程组中每个方程都必须是二元一次方程吗?二元指的什么？一次指的什么？
例3
根据定义，以下三个方程组是二元一次方程组吗？
是
是
（1）
在一个方程组中，二元指的是共有2个未知数，一次指的是“含未知数的项的次数是1”，每个方程都是一次方程。
是
探究新知
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组
二元一次方程组
注意：
1、共有2个未知数
2、含未知数的项的次数是1
探究新知
例4
在方程组
程组的有
(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
D
中，是二元一次方
二元一次方程组的判断
提示：三个要素：
含有两个未知数
含有未知数的项的次数为1
整式方程
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
(1)x=6，y=2适合方程x+y=8吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你还能找出适合方程x+y=8的x，y的值吗？
(2)x=5，y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2，y=8呢？
都是
例如x=5，y=3
都适合
二元一次方程的一个解不是一个值，而是一对值；一般地，二元一次方程有无数个解
如x=6，y=2是二元一次方程x+y=8的一个解，记作
任务：阅读课本P105页做一做，回答并思考以下问题。
(3)你能找到一组x，y的值，同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？
x=5，y=3
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.
二元一次方程组的解是一对值，要将这对数代入方程组中的每一个方程进行检验，这对数只有满足方程组中的每一个方程，这对数才能是这个方程组的解.二元一次方程组的解是唯一的。
x=5，y=3是方程组
x+y=8
的解，记作
x
=
5
y
=
3
5x＋3y＝34
探究新知
总结
二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
注意：
（1）解是一对值；
（2）一般地，二元一次方程有无数个解
二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.
注意：
（1）解是一对值；
（2）一般地，二元一次方程组有唯一解
例5.下面各组数中,是二元一次方程组
的解的是
( )
A.
B.
C.
D.
D
解：把
代入到方程组,得：
解得a
=2,b=11.
x
=
1
y
=-2
例6
已知二元一次方程组
的解是
求a与b的值.
利用二元一次方程组的解求字母的值
把一根长13m的钢管截成2m长或3m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？
解：设截成2m长的钢管x根，3m长的钢管y根,
则2x+3y=13,
因为x,y均为非负整数，所以
或
故有2种不同的截法：
3m长1根、2m长5根以及3m长3根、2m长2根.
x=5，
y=1
x=2，
y=3
拓广探索题
认识二元一次方程组
二元一次方程及二元一次方程组的定义
二元一次方程及二元一次方程组的解
根据实际问题列二元一次方程组
课堂小结5．1 认识二元一次方程组
1．了解二元一次方程(组)及其解的定义；(重点)
2．会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解．(难点)
一、情境导入
小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角．小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种票额的邮票？
这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？如果设需要票额为6角的邮票x张，需要票额为8角的邮票y张，你能列出方程吗？
二、合作探究
探究点一：二元一次方程及其解的定义
【类型一】
利用二元一次方程的定义求字母的值
已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________．
解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1.所以m＋n＝0，故填0.
方法总结：二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数的项的最高次数为一次；(3)方程是整式方程．
【类型二】
二元一次方程的解
已知是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是( )
A．1
B．3
C．－3
D．－1
解析：将代入方程2x－ay＝3，得2＋a＝3，所以a＝1.故选A.
方法总结：根据方程的解的定义知，将x，y的值代入方程中，方程左右两边相等，即可求解．
探究点二：二元一次方程组及其解的定义
【类型一】
识别二元一次方程组
有下列方程组：①②
③④⑤其中二元一次方程组有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：①方程组中第一个方程含未知数的项xy的次数不是1；②方程组中第二个方程不是整式方程；③方程组中共有3个未知数．只有④⑤满足，其中⑤中的π是常数，不是未知数．故选B.
方法总结：识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：一看方程组中的方程是否都是整式方程；二看方程组中是不是共含两个未知数；三看含未知数的项的次数是不是都为1.
【类型二】
二元一次方程组的解
甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2015＋(－b)2016的值．
解析：由方程组解的定义知：甲看错了方程①中的a得到方程组的解为说明是方程②的解；同样是方程①的解．
解：把代入②，得－12＋b＝－2，所以b＝10；把代入①，得5a＋20＝15，所以a＝－1；所以a2015＋(－b)2016＝(－1)2015＋(－×10)2016＝0.
方法总结：利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入它适合的方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解．
探究点三：列二元一次方程组
小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设1元的贺卡为x张，2元的贺卡为y张，那么x，y所适合的一个方程组是( )
A.
B.
C.
D.
解析：根据题意可得到两个相等关系：(1)1元贺卡张数＋2元贺卡张数＝8(张)；(2)1元贺卡钱数＋2元贺卡钱数＝10(元)．设1元的贺卡为x张，2元的贺卡为y张，可列方程组为故选D.
方法总结：要判断哪个方程组符合题意，可从题目中找出两个相等关系，然后代入未知数，即可得到方程组，进而得到正确答案．
三、板书设计
二元一次方程组
通过自主探究和合作交流，建立二元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，增加对数学较全面的体验和理解．
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2No.1认识二元一次方程组
板块一：认识二元一次方程
任务：阅读课本P103-P104，完成以下三个问题。
问题一
（如课本所示）
小马说：你还累？这么大的个，才比我多驮了2个.由此你得到什么方程？
（2)老牛说：哼!我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！由此你得到什么方程？
问题二（如课本所示）
（1）我们八个人去红山公园玩。由此你得到什么方程？
（2）买门票花了34元，每张成人票5元，儿童票3元。由此你得到怎样的方程。
问题三
观察所得四个方程是一元一次方程吗？所得方程有什么特征？
大家认为
xy
+
8
=
5x是二元一次方程吗？
为什么？
例1
判断下列方程是否为二元一次方程：
3y-2x
=z+5
（2）
（3）
（4）
（5）
(6)
3
-
2xy
=1
(7)
4x+π=0
(8)
2x=1-3y
想一想
（1）ax+y=6
a为系数，那么ax+y=6是二元一次方程？
（2）xm+yn=6
是二元一次方程,m、n要满足什么条件？
例2
已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________．
板块二
认识二元一次方程组
任务
阅读课本P104页议一议，完成以下三个问题以及例3。
1.在前面的实际问题中，这两个方程中x的含义相同吗？分别是什么含义？y呢？
2.若x,y同时满足这两个方程，用什么方式把这两个方程联立起来，即写成什么形式呢？
3.如果两个方程中相同字母所代表的含义相同，把它们联立起来，就组成了二元一次方程组，你能归纳出二元一次方程组的概念吗？
例3
根据定义，以下两个方程组是二元一次方程组吗？
想一想
①二元一次方程组中每个方程都必须是二元一次方程吗?二元指的什么？一次指的什么？
板块三
二元一次方程和二元一次方程组的解
任务
阅读课本P105页做一做，完成以下三个问题。
x=6，y=2适合方程x+y=8吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你还能找出适合方程x+y=8的x，y的值吗？
x=5，y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2，y=8呢？
思考：什么是二元一次方程的解?二元一次方程有多少个解?二元一次方程的解是一个数吗？x=6，y=2是二元一次方程x+y=8的一个解该如何表示？
能找到一组x，y的值，同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？
思考：什么是二元一次方程组的解?二元一次方程组有多少个解?二元一次方程组的解是一个数吗？x=5，y=3是二元一次方程组的解，那么怎么表示？
例5.下面各组数中,是二元一次方程组
的解的是
( )
B.
C.
D.
例6
已知二元一次方程组
的解是
求a与b的值.
拓广探索
把一根长13m的钢管截成2m长或3m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？
