直角三角形的边角关系（复习课）达标测试
达标测试一
1.（怀化市）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
，
则cosB的值（
）
2.（济南）在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C．D．3
3、（湖北黄冈）cos30°=（
）
4.
(济南)
2sin30°-
=
5、（郴州市）计算：
达标测试二：
6.在△ABC中,
AB=16
,
∠B=30°,
∠C=45°,
求BC的长.
7.在△ABC中,
AB=16,
AC=10,
∠B=30°,求BC的长.
达标测试三：
8.MN是一条现代化的商业街，其中M在古塔所在地P的南偏西60°方向上，
N在古塔的南偏西30°方向上，
N在M的正东方向且MN=150米.为了不破坏古塔周围的风貌，按有关规定，古塔周围100米内不得修建现代化商业街，若商业街继续向正东方向扩建是否会违反这个规定？
M
N
P
Q第一章《直角三角形的边角关系
》
【授课类型】
复习课
【教学目标】
1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图；
2．利用检测，检验学生知识掌握与应用程度；
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用；能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。
4．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题；
【教学重难点】
重点：归纳直角三角形的边、角之间的关系，利用这些关系式求解直角三角形的边和角，解决实际问题。
难点：直角三角形的边、角之间的关系解决实际问题
【教学方法】
本节课以学生活动为主，尽可能在回顾与思考的几个问题的自主研讨交流过程中逐渐引导、启发学生建立知识体系，归纳、总结本章学习中的收获以及困难及需要改进的地方。
【教学过程】
一、激趣导入，建构网络
以大海上漂泊的帆船结合李白行路难中的诗句：“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海”，激励学生努力学习，通过船帆的形状引入课题，对本章知识总结归纳，形成知识体系，建构结构网络，查缺补漏，以求厚积薄发。
1、直角三角形中的边角关系：
（1）三边关系：___________；
（2）两锐角关系：___________；
（3）边、角间的关系sinA=___cosA=_____;tanA=_____
2、同角三角函数关系：
平方关系：sin2
A+cos2A=_____；
3、互余两角的三角函数关系
sin（_______）=cosA
cos（_______）=sinA
锐角三角函数的范围：___＜sinA＜___；
___＜cosA＜____；
tanA＞____，
5、三角函数的大小比较
(1)
同名三角函数的大小比较
①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．
②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
6、特殊角的三角函数值：
300
450
600
sinA
cosA
tanA
2.基本概念：
1、仰角和俯角
2、方向角：如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）
3.斜坡的倾斜程度常用坡度表示.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,山坡的坡度
1）.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角
2）.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切。
3）.坡度越大,坡面越陡。
设计意图：本环节主旨在于激起学生学习的积极性，语言中有对章节复习的重要性的渗透，有复习重点的渗透，有树立学生信心的目标，通过独自回忆后小组合作交流，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系，教师选取有代表性的知识结构网络进行全班展示，其他同学对照自己的总结查缺补漏。
二、巩固训练：达标测试一
1.（怀化市）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
，
则cosB的值（
）
2.（济南）在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C．D．3
3、（湖北黄冈）cos30°=（
）
4.
(济南)
2sin30°-
=
5、（郴州市）计算：
设计意图：本题组主要是帮助学生复习回忆三角函数的定义，特殊角度的三角函数值，以及边角关系的实际应用。这些都是基础知识和基本技能的再现，所以，处理的方式都是让学生自行完成，并学生总结归纳知识点和方法，其中第1题考查学生对定义的掌握情况，第2题是网格中求三角函数值得技巧的提升和训练，第2、3、5题考查特殊角度的三角函数值，均为基础题，要求学生口述考查的知识点以及解题思路和方法。
三、典例解析
1.如图，在△ABC中,AB=16,AC=10,
AD⊥BC于点D
，
AD=8,求tanB,
BC的值.
2变式训练：达标测试二
变式一.在△ABC中,
AB=16
,
∠B=30°,
∠C=45°,
求BC的长.
变式二.在△ABC中,
AB=16,
AC=10,
∠B=30°,求BC的长.
设计意图：本环节设计了解直角三角形的应用，利用勾股定理、三角函数表示线段的长。通过学生独立解决，师生共析，规范过程帮助学生形成问题转化能力，分析和解决问题的能力，通过两个变式训练，检验学生的理解能力名独立解决问题的能力，由于没图，学生通过画图，体会分类思想，在学生回答基础上在一次展示过程，养生良好书写的过程。利用基本图形（双勾图）解决数学问题，像这样的基本图形是我们学习解决直角三角形的边角关系在实际中的频频应用的，它一般是双直角三角形，如果两个三角形中有一个能解，则直接解此三角形为解另一个三角形提供条件，如果两个三角形都不能直接解，一般设出两三角形公共边列方程求解。这样例解之后，相信学生会有很大的提高。另外本题还注意应用一题多解，训练学生的思维，形成学生的优化意识，拓展学生的视野，提高学生的能力。为下一步的实际问题的转化铺垫。
生活与应用;
处理过程：1.学生分组讨论，合作交流成果
2.学生展示，展示优秀小组的成果。
3.教师点拨诱思，展示解题步骤，规范解题格式，引导学生多种方法解决问题。
4.总结归纳，拓展延伸
方案一：平地上一幢建筑物CD与古塔AB的位置如图所示，测得BD=50m，在C点测得B点的俯角为45°,测得A点的仰角为30°,求铁塔AB的高度.
方案二：同学们在点C处测得塔顶A的仰角为27°,向前走80米,在点D处测得A的仰角为45°（C、D、B三点在一条直线上）．求塔AB的高度．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50）
方案三：如图，直升飞机在古塔AB上方P点处测得塔顶A点的俯角为45°，底端B点的俯角为60°，
此时直升飞机与塔AB的水平距离QB为100米，求塔AB的高.
5.乘胜追击：达标测试三：
MN是一条现代化的商业街，其中M在古塔所在地P的南偏西60°方向上，
N在古塔的南偏西30°方向上，
N在M的正东方向且MN=150米.为了不破坏古塔周围的风貌，按有关规定，古塔周围100米内不得修建现代化商业街，若商业街继续向正东方向扩建是否会违反这个规定？
举一反三，思考与延伸：
（1）若点D在塔的右侧，其它条件不变，你会解吗？结果如何?
（
2）若在塔顶A处有一人，那么他观察C,D两点的俯角各是多少？它与C,D两点的仰角有什么关系？
（3）若我们把AC和AD想象成一个斜坡，那么斜坡AC和斜坡AD的坡角各是多少度？坡度各是多少？坡面AC,AD的长又怎样求？
(4)
若在原题中加上同学的身高（1.6米）,
你会画出新的图形吗？那么此时塔高又为多少？
设计意图：把实际问题转化为数学问题，通过建模培养学生用数学的思想，是数学的核心素养。总结通法是为学生解决问题提供依据，利于学生建模解决问题。毕竟新课程下考查的多是通识通法，所以让学生领会和掌握通法会事半功倍的。通过学生交流，教师展示，从学生的表现来看，效果很理想，学生能将多数方法罗列出来，可见学生通过前期的学习和本节课的复习，对于本章四基已基本过关。通过教师讲评，师生共析，举一反三，进行的知识迁移和能力拓展。感受解直角三角形在航海航空，测物高等各方面的应用，教学时要注意
1．在解决实际问题时，首先要弄清题意，正确画出示意图，将实际问题转化为直角三角形的问题，进而运用三角函数的知识加以解决。
2．有些问题涉及的不是直角三角形，这就需要根据条件或图形的特点，适当的引进辅助线，以构造直角三角形，从而将问题转化为直角三角形的问题加以解决。
3．解决应用题时要注意弄清仰角、俯角、坡度（坡比）等术语的含义。
4．有关锐角三角函数的问题，综合性、技巧性、操作性都比较强，涉及到的知识和方法较多，因此，在综合复习中要体会模型化思想和数形结合等数学思想方法的应用。
五.课堂小结：学生以小组为单位畅谈收获,解答疑惑.互相交流总结本章的知识要点，以及知识点之间的联系.学生总结后，教师要从知识、方法、数学思想等各方面再一次强化。
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，加深了“直角三角形的边角关系”的认识和理解，通过老师的小结以及框图概述，清晰展现各知识点之间的联系
六：布置作业：A
导学案
第一章回顾与思考P25页
B附加题：
如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。
（1）问B处是否会受到影响？请说明理由。
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物。
七、板书设计
第一章......
知识框架图解题技能
例1
例2
热点考题类型解题注意事项
【教学反思】
1．本节课是直角三角形的边角关系一章的复习课，由于这部分内容是中考的重点内容，同时也是高中学习任意角的三角函数的基础，所以，在知识方面要切实掌握住基本概念和基本图形，并能熟练的应用；在数学思想和方法方面要会用转化的思想，分类讨论的思想，优化策略等，因此在复习研讨过程中，加大了以上方面的渗透。
2．具体的环节中，充分体现“以学生为主体，注重学生的自主探究与合作交流”的新课程理念，让学生做，让学生总结和归纳，教师只是发现学生的闪光点以及思维的误区，以便进行点拨和拓展。
3．由于本节课是复习课，知识点多，学生难免有失误，所以建议老师在以后的教学过程中应注意评价的多元化。
100m
60m
┌
α
C
A
B
D
A
B
D
C
27°
45°
80
Q
B
A
P
C
M
N
P
Q
A
B
D
C
27°
°
40
PAGE(共29张PPT)
直角三角形边角关系
专题复习
长风破浪会有时
直挂云帆济沧海
A
B
C
a
b
c
北师大版九年级
数学(下)第一章
知识梳理
1、直角三角形中的边角关系：
（1）三边关系：___________；
（2）两锐角关系：___________；
（3）边、角间的关系sinA=___cosA=_____;tanA=_____
2、同角三角函数关系：
平方关系：sinA+cosA=_____；
3、互余两角的三角函数关系
sin（_______）=cosA
cos（_______）=sinA
4、锐角三角函数的范围：___＜sinA＜___；
___＜cosA＜____；
tanA＞____，
2
2
A
B
C
a
b
┌
c
a2＋b2＝c2（勾股定理）
∠
A＋
∠
B＝
90?
90°-
A
90°-
A
0
0
1
1
0
1
特殊角的三角函数值
锐角的三角函数值有何变化规律呢？
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
角α
三角函数
2
2
2
2
1
3
特别提示：
还记得15°
75°
,22.5°
67.5°
等角正切值的求法吗？
知识梳理
1、仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
2、方向角
如图：点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
3.斜坡的倾斜程度常用坡度表示.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,山坡的坡度
1）.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角
2）.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i
(或坡比),即坡度等于坡角的正切。
3）.坡度越大,坡面越陡。
100m
60m
┌
α
i
1、（怀化市）在Rt△ABC中∠C=90°sinA=
则cosB的值等于（
）
C
考法一：注重对锐角三角函数定义的考查
A
B
C
a
b
┌
c
方法一：根据互为余角两个锐角的正余弦的关系
方法二：定义法
当堂训练,巩固提高
2.（济南）在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．3
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】网格型．
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【解答】解：由图形知：tan∠ACB=
．
A
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，
关键是掌握锐角三角函数的定义．
3、（湖北黄冈）cos30°=（
）
C
考法二：注重对特殊角的三角函数值的考查
4.
(济南)
2sin30°-
=
-3
5、（郴州市）计算：
┃
考点攻略
C
A
B
D
如图，在△ABC中,AB=16,AC=10,
AD⊥BC于点D
，
AD=8,求tanB,
BC的值.
变式二.在△ABC中,
AB=16,
AC=10,
∠B=30°,求BC的长.
变式一.在△ABC中,
AB=16
,
∠B=30°,
∠C=45°,
求BC的长.
C
A
B
D
C
A
B
D
A
B
C
D
如图，在△ABC中,AB=16,AC=10,
AD⊥BC于点D
，
AD=8,求tanB,
BC的值.
C
A
B
D
变式二.在△ABC中,
AB=16,
AC=10,
∠B=30°,求BC的长.
变式二.在△ABC中,
AB=16,
AC=10,
∠B=30°,求BC的长.
A
B
C
D
变式二.在△ABC中,
AB=16,
AC=10
,
∠B=30°,
求BC的长.
变式一.在△ABC中,
AB=16
,
∠B=30°,
∠C=45°,
求BC的长.
C
A
B
D
C
A
B
D
A
B
C
D
学习了《测量物体的高度》，数学兴趣小组的同学们对本城区的古塔进行了调查，并收集到相关的数据，你能根据提供的数据，计算出古塔的大致高度吗？(结果保留整数）
平地上一幢建筑物CD与古塔AB的位置如图所示，测得BD=50m，在C点测得B点的俯角为45°,测得A点的仰角为30°,求铁塔AB的高度.（精确到1米）
D
B
C
A
E
B
C
A
E
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
A
B
D
C
27°
45°
80
同学们在点C处测得塔顶A的仰角为27°,向前走80米,在点D处测得A的仰角为45°（C、D、B三点在一条直线上）．求塔AB的高度．
（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50）
A
B
D
C
27°
45°
如图，直升飞机在古塔AB上方P点处测得塔顶A点的俯角为45°，底端B点的俯角为60°，此时直升飞机与塔AB的水平距离QB为100米，求塔AB的高.
Q
B
A
P
C
B
A
P
C
MN是一条现代化的商业街，其中M在古塔所在地P的南偏西60°方向上，
N在古塔的南偏西30°方向上，
N在M的正东方向且MN=150米.为了不破坏古塔周围的风貌，按有关规定，古塔周围100米内不得修建现代化商业街，若商业街继续向正东方向扩建是否会违反这个规定？
北
M
N
P
Q
M
N
P
Q
Q
A
P
C
B
D
B
C
A
E
北
M
N
P
Q
A
B
D
C
A
B
D
C
27°
45°
40
思考与延伸：
（1）若点D在塔的右侧，其它条件不变，你会解吗？结果如何?
（
2）若在塔顶A处有一人，那么他观察C,D两点的俯角各是多少？它与C,D两点的仰角有什么关系？
（3）若我们把AC和AD想象成一个斜坡，那么斜坡AC和斜坡AD的
坡角各是多少度？坡度各是多少？坡面AC,AD的长又怎样求？
(4)
若在原题中加上同学的身高（1.6米）,
你会画出新的图形吗？
那么此时塔高又为多少？
我学会了……
我应该注意……
锐角三角函数
特殊角的三角函数
解直角三角形
简单实际问题
c
a
b
A
B
C
知识梳理
1、本节例题学习以后，我们可以得到解直角三角形的基本图形：
2、作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.
3、解直角三角形应用的解题思路：
数学模型
实际问题
解直角三角形
构建
作垂线
从组合直角三角形中寻找公共边是解决问题的关键;方程是解决问题的有效方法。
《导学案》P25页：回顾思考
附加题：
如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。
（1）问B处是否会受到影响？请说明理由。
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多长时间内卸完货物?
C
北
西
B
A
