第24章圆第2课时 垂径定理-人教版九年级数学上册讲义（机构专用）（含答案）

人 教 版 九 年 级 数 学 上 册 讲 义
第二十四章 圆
第2课时 垂径定理
教学目的
1探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；
2能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关的实际问题．
教学重点
能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关的实际问题．
教学内容
知识要点 1圆的轴对称性
性　　质：圆是轴对称图形，任何一条 直径 所在直线都是圆的对称轴．圆有 无数 条对称轴．
2垂直于弦的直径
垂径定理：垂直于弦的直径 平分 弦，并且平分 弦 所对的两条弧．
3垂径定理的推论
推　　论：平分弦(不是直径)的直径 垂直 于弦，并且 平分弦 所对的两条弧．
拓　　展：如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个条件中的任意两个，那么它一定满足其余三个：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦；④直线平分弦所对的优弧；⑤直线平分弦所对的劣弧．
对应练习
1．半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是( )
A．3 B．4 C. D.
2．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6 cm，则AB的长为( )
A．4 cm B．3 cm
C．2 cm D．2 cm
3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝6 cm，则OE＝ cm.
5．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为 ．
　
6．下列说法正确的是( )
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
7．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )
A．8 B．2 C．10 D．5
8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB＝5，截面圆圆心为O，当水面宽AB＝8时，水位高为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为( )
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
11．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为 米．
课堂总结
作垂直于弦的半径或连接半径，构造直角三角形是利用垂径定理解题的常用方法．
课后练习
1．如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB＝120°，则弦AB的长为
2．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那么⊙O的半径OA长为 cm.
　　　
3．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为 ．
4．如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB＝BC＝12，则OC＝ ．
　　　
5．如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r.
6．如图，⊙O的直径为10 cm，弦AB＝8 cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
7．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图所示)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
参考答案 1.C 2.B 3.D 4.4 5 .
D
D
B
B
D
0.5
作业参考答案
1.4 2.5 3.4 4.4．
5.解：由题意知OA＝OE＝r.
∵EF＝1，∴OF＝r－1.
∵OE⊥AB，
∴AF＝AB＝×3＝1.5.
在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，
即(r－1)2＋1.52＝r2.解得r＝.
即圆O的半径为米．
6.解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝AB＝4 cm.
又⊙O的直径为10 cm，连接OA，则OA＝5 cm.
由勾股定理，得
OD＝＝3 cm.
∵垂线段最短，半径最长，
∴OP的长度范围是3 cm≤OP≤5 cm.
7.解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E.
则CE＝DE，AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD.
(2)连接OA，OC.
由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，
∴CE＝＝＝2.
AE＝＝＝8.
∴AC＝AE－CE＝8－2.