人教版数学七年级上册3.4.1实际问题与一元一次方程——配套问题教案
文档属性
| 名称 | 人教版数学七年级上册3.4.1实际问题与一元一次方程——配套问题教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 104.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-20 21:15:45 | ||
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文档简介
问题探究
构建框图
“3.4
实际问题与一元一次方程（1）”教学设计
一、内容及其解析
1．内容
通过对例1：成龙配套问题和例2：工程问题的学习，以框图形式归纳了用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
2．内容解析
《3.4
实际问题与一元一次方程（1）》是人教版七年级（上）数学第三章《一元一次方程》中实际问题的第一节课。在此前已经讨论过的由实际问题列出一元一次方程以及解一元一次方程的一般步骤。通过这两道例题的学习及其后的归纳，目的是启发学生从如何建立方程模型解决问题的大思路上认识基本规律，同时也渗透建立方程模型解决实际问题不仅仅是一元一次方程，后续还将学习的二元一次方程组、一元二次方程、分式方程等也同样适用。
学情分析：七年级学生对实际问题的内容已经在小学有所接触，而且学生比较上进，思维活跃，愿意表达自己的见解，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自已的想法，有一定的互动互助基础。
二、目标及其解析
1．目标
（1）通过两道例题的具体解答，体验建立方程模型解决实际问题的一般过程；
（2）体会方程思想、建模思想和化归思想，增强应用意识和应用能力。
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：经历以下过程：通过例题1和例题2的分析和解答归纳出每一题中的解题思路，从而归纳出一般的用一元一次方程解决实际问题的基本过程。
达成目标（2）的标志是：学生能在解决实际问题时首先想到用方程来解决，然后找等量关系，列出方程并解答，体会建模思想；从解方程中能体会把未知化为已知（x=a）的化归思想。
基于以上分析，可以确定本节课的教学重难点是：找到正确的等量关系并列出方程，用一元一次方程解决实际问题框图的构建。
三、教学过程设计
引言：前面我们学习了一元一次方程，通过解方程得到一元一次方程的解，知道了方程是分析和解决实际问题的一种很有用的数学工具，从本节开始我们将重点学习如何用一元一次方程解决实际问题。（师生共同回顾，教师板书，PPT呈现课题）
1．创设问题情境
师：我们知道数学来源于生活，如一张桌子和一把椅子组成了一套课桌凳；一个转轴和三片扇叶组成了一个电风扇；一个螺钉和两个螺母配成一套；一个茶壶和四个茶杯组成一套茶具。问题：你能举出生活中的配套物品的例子吗？
师生活动：由学生举例，师生共同判断是否是配套物品。
【设计意图】先由教师举例生活中配套物品的实例，让学生初步感知，再通过学生自己举例体会生活中存在大量的配套物品，从而渗透探究配套问题的必要性。
师：可见配套问题在生活中大量存在，下面我们首先研究关于螺钉和螺母的配套问题。（PPT出示例题1）
2．探究配套问题和工程问题
例
1某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2
000个螺母.
1个螺钉需要配
2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
学生看完题目，教师以问题串的形式引发学生思考：
问题1:你能用方程的知识解决这个问题吗？说说你的做法。
生齐答：首先设未知数，然后列方程。
教师追问:你认为列方程解决实际问题的核心是什么？
生1：找等量关系。
教师继续追问：你能从题目中找到等量关系吗？
生2：1个螺钉需要配
2个螺母是本题的等量关系。
师生共同归纳得出：每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍，则刚好配套。
师生活动：在学生找出等量关系后，由学生列出方程，并完成后面的解答，教师请一位学生板书解答过程。然后指出对于比较复杂的方程我们能化简先化简，再解方程比较简洁，另外在答之前先检验答案是否符合题意。
在师生共同完成了例题1的解答后，教师出示：
问题3:你还有不同的方法解决这个问题吗？
由一名学生口答第二种设未知数的方法，并列出方程。
问题4：回顾刚才的解答，我们是怎么做的？
通过学生刚才对例题1的解答，师生共同归纳出如下用一元一次方程解决实际问题的框图：
教师总结：我们用一元一次方程解决配套问题：实际上是建立方程模型解决问题。
本活动，教师应重点关注学生：
①能否理解螺母数量是螺钉数量的2倍这个等量关系，并列出方程；
②能否通过具体实际问题的解决构建框图，体会数学建模思想．
【设计意图】首先由生活中的配套实例引入课本例题，让学生明白配套问题在生活中大量存在，一方面体现了研究的必要性，另一方面也让学生能理解配套物品之间存在着一定的数量关系；在出示例题1后，通过问题串的形式，降低难度，让学生更好地理解题意并解答；通过对例题1框图的构建，目的是为了后面得出一般地用一元一次方程解决实际问题的框图的构建。
师：关于螺钉和螺母的配套问题是1:2数量关系，从刚才同学们的举例中，我们知道生活中还有很多的配套问题存在，但解决问题的核心是抓住配套物品之间的数量关系，如
变式1
某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个A部件或2
000个B部件.一套仪器由1个A部件和3个B部件构成，为使每天生产的A部件和B部件刚好配套，应安排生产A部件和B部件的工人各多少名？
变式2
继续改变：2个A部件和3个B部件构成，其余条件不变，你还能列方程吗？
本活动，教师应重点关注学生：当配套物品之间的数量关系改变了，能否正确理解题意，并列出方程。
【设计意图】变式1是1:3关系，大部分学生还是能解决的；但是对于变式2，很多学生会弄错等量关系，此时教师可以在几个学生的不同解答中让学生自己去发现问题，从中体会配套物品之间的数量关系是列方程的关键。
师：随着工人们大量生产的螺钉和螺母，现急需打包，在打包过程中我们又碰到一个新的问题：
例题2
一批螺钉和螺母需要打包，由一个人做要40
h
完成.现计划由一部分人先做4
h，然后增加
2人与他们一起做8
h，完成这项工作.
假设这些人的工作效率相同，具体应该先安排多少人工作？
问题1：这是我们以前学过哪种类型的问题？
问题2：你对工程问题了解多少？
【设计意图】问题1使学生回忆以前学过的工程问题；问题2目的是让学生回忆关于工程问题中的基本关系式：（1）工作量=
工作效率×工作时间（2）通常设完成全部工作的总工作量为1.
然后通过表格帮助学生理清各个量的表示方法，并列出方程。（解答过程由学生独立完成，教师点评，学生能解决的教师不讲。）
解法1：表格如下（等量关系：总工作量=前一部分工作量+后一部分工作量）
?
人均效率
人数
时间
工作量
前一部分工作
?
?
?
?
后一部分工作
?
?
?
?
解法2：表格如下（等量关系：总工作量=x人工作量+2人工作量）
?
人均效率
人数
时间
工作量
x人工作
?
?
?
?
2人工作
?
?
?
?
【设计意图】在学生理解了第一种解法的基础上，教师引导学生既可以把总工作量分为前一部分工作量和后一部分工作量；也可以理解为x人一直工作，而另外的2个人工作8小时的工作量之和等于总工作量，同样可以解决问题，让学生在理解的基础上列出方程，体会一题多解。无论哪种方法，关键是：抓住各部分工作量之和等于总工作量是列方程的依据。
问题：回顾刚才的解答，我们是怎么做的？
师生活动：学生通过对例题1的学习和归纳，已经有一些归纳的能力了，故例题2的归纳应放手让学生来讲，没有讲完整的地方由教师补充，完成框图构建：
【设计意图】首先归纳出例题2的解答框图，然后通过两题框图的对比，归纳出一般的用一元一次方程解决实际问题的基本过程。（学生讲教师板书，并提炼出解决实际问题的一般步骤：设、列、解、检、答五步，由学生指出最为关键的是：列方程---即找等量关系是核心）
3．初步应用，巩固新知
1.某水利工地派
48
人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？
2.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要18天，如果先由甲工程队先做2天，再由甲、乙工程队一起施工，还需多少天可以铺设好这条管线？
【设计意图】两位学生板书解答过程，其余同学独立完成解答。在学生完成的基础上，请其他同学补充不同的解答方法，巩固落实例题。
4.
体验感悟
师：回顾本节课，你有哪些收获？
师生活动：学生各抒己见，发表自己本节课的学习体会，教师在学生的基础上，通过PPT小结归纳本节课。
师生活动：通过两个框图的对比，让学生体会用一元一次方程解决实际问题的基本过程和解题步骤，由学生归纳出：建模和化归的数学思想方法。在此基础上教师指出：本节课我们学习的是配套问题和工程问题，后续还将学习利润问题、球赛积分问题…都将用这种思维方式解答；一元一次方程是我们解决实际问题的一种数学工具，后续还将学习二元一次方程组、一元二次方程、分式方程…这些数学工具解决实际问题。
【设计意图】通过具体问题的两个框图的同时呈现，让学生再次深刻体会这种解题的基本过程，同时通过教师的拓展提升让学生更进一步体会用方程这个数学工具来解决实际问题的基本过程。
最后教师与学生分享著名数学家笛卡尔的一段话：
“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解!”
5.作业布置：
（1）作业本（1）P20
（2）请你编写一道生活中的配套问题或工程问题，并用方程的方法加以解决。
解
方
程
设安排x名工人
生产螺钉
如何安排工人使生产的螺钉和螺母刚好配套
代入方程成立
符合实际意义
x=10
22
－
x
=12
2
×1200
x=
2
000(22
－
x)
应该安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母
代入方程成立
符合实际意义
设先安排x名工人
安排合适的人数
使工程顺利完成
x=2
解方程
应该先安排
2名工人工作
设安排x名工人
生产
螺钉
如何安排工人使生产的螺钉和螺母刚好配套
代入方程成立
符合实际意义
x=10
22
－
x
=12
应该安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母
2
000(22
－
x)=2
×1200
x
解方程
设未知数、
列方程
类型一：配套问题
类型二：工程问题
2
000(22
－
x)=2
×1200
x
x=10
22
－
x
=12
x=2
安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母
应该先安排2名工人工作
解一元一次方程
检验
解方程
一元一次方程的解（x=a)
检验
设未知数、
列方程
实际问题
的答案
一元一次方程
核心问题：1.正确分析问题中的相等关系
2.用数学符号语言正确表达
实际问题
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5
构建框图
“3.4
实际问题与一元一次方程（1）”教学设计
一、内容及其解析
1．内容
通过对例1：成龙配套问题和例2：工程问题的学习，以框图形式归纳了用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
2．内容解析
《3.4
实际问题与一元一次方程（1）》是人教版七年级（上）数学第三章《一元一次方程》中实际问题的第一节课。在此前已经讨论过的由实际问题列出一元一次方程以及解一元一次方程的一般步骤。通过这两道例题的学习及其后的归纳，目的是启发学生从如何建立方程模型解决问题的大思路上认识基本规律，同时也渗透建立方程模型解决实际问题不仅仅是一元一次方程，后续还将学习的二元一次方程组、一元二次方程、分式方程等也同样适用。
学情分析：七年级学生对实际问题的内容已经在小学有所接触，而且学生比较上进，思维活跃，愿意表达自己的见解，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自已的想法，有一定的互动互助基础。
二、目标及其解析
1．目标
（1）通过两道例题的具体解答，体验建立方程模型解决实际问题的一般过程；
（2）体会方程思想、建模思想和化归思想，增强应用意识和应用能力。
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：经历以下过程：通过例题1和例题2的分析和解答归纳出每一题中的解题思路，从而归纳出一般的用一元一次方程解决实际问题的基本过程。
达成目标（2）的标志是：学生能在解决实际问题时首先想到用方程来解决，然后找等量关系，列出方程并解答，体会建模思想；从解方程中能体会把未知化为已知（x=a）的化归思想。
基于以上分析，可以确定本节课的教学重难点是：找到正确的等量关系并列出方程，用一元一次方程解决实际问题框图的构建。
三、教学过程设计
引言：前面我们学习了一元一次方程，通过解方程得到一元一次方程的解，知道了方程是分析和解决实际问题的一种很有用的数学工具，从本节开始我们将重点学习如何用一元一次方程解决实际问题。（师生共同回顾，教师板书，PPT呈现课题）
1．创设问题情境
师：我们知道数学来源于生活，如一张桌子和一把椅子组成了一套课桌凳；一个转轴和三片扇叶组成了一个电风扇；一个螺钉和两个螺母配成一套；一个茶壶和四个茶杯组成一套茶具。问题：你能举出生活中的配套物品的例子吗？
师生活动：由学生举例，师生共同判断是否是配套物品。
【设计意图】先由教师举例生活中配套物品的实例，让学生初步感知，再通过学生自己举例体会生活中存在大量的配套物品，从而渗透探究配套问题的必要性。
师：可见配套问题在生活中大量存在，下面我们首先研究关于螺钉和螺母的配套问题。（PPT出示例题1）
2．探究配套问题和工程问题
例
1某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2
000个螺母.
1个螺钉需要配
2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
学生看完题目，教师以问题串的形式引发学生思考：
问题1:你能用方程的知识解决这个问题吗？说说你的做法。
生齐答：首先设未知数，然后列方程。
教师追问:你认为列方程解决实际问题的核心是什么？
生1：找等量关系。
教师继续追问：你能从题目中找到等量关系吗？
生2：1个螺钉需要配
2个螺母是本题的等量关系。
师生共同归纳得出：每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍，则刚好配套。
师生活动：在学生找出等量关系后，由学生列出方程，并完成后面的解答，教师请一位学生板书解答过程。然后指出对于比较复杂的方程我们能化简先化简，再解方程比较简洁，另外在答之前先检验答案是否符合题意。
在师生共同完成了例题1的解答后，教师出示：
问题3:你还有不同的方法解决这个问题吗？
由一名学生口答第二种设未知数的方法，并列出方程。
问题4：回顾刚才的解答，我们是怎么做的？
通过学生刚才对例题1的解答，师生共同归纳出如下用一元一次方程解决实际问题的框图：
教师总结：我们用一元一次方程解决配套问题：实际上是建立方程模型解决问题。
本活动，教师应重点关注学生：
①能否理解螺母数量是螺钉数量的2倍这个等量关系，并列出方程；
②能否通过具体实际问题的解决构建框图，体会数学建模思想．
【设计意图】首先由生活中的配套实例引入课本例题，让学生明白配套问题在生活中大量存在，一方面体现了研究的必要性，另一方面也让学生能理解配套物品之间存在着一定的数量关系；在出示例题1后，通过问题串的形式，降低难度，让学生更好地理解题意并解答；通过对例题1框图的构建，目的是为了后面得出一般地用一元一次方程解决实际问题的框图的构建。
师：关于螺钉和螺母的配套问题是1:2数量关系，从刚才同学们的举例中，我们知道生活中还有很多的配套问题存在，但解决问题的核心是抓住配套物品之间的数量关系，如
变式1
某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个A部件或2
000个B部件.一套仪器由1个A部件和3个B部件构成，为使每天生产的A部件和B部件刚好配套，应安排生产A部件和B部件的工人各多少名？
变式2
继续改变：2个A部件和3个B部件构成，其余条件不变，你还能列方程吗？
本活动，教师应重点关注学生：当配套物品之间的数量关系改变了，能否正确理解题意，并列出方程。
【设计意图】变式1是1:3关系，大部分学生还是能解决的；但是对于变式2，很多学生会弄错等量关系，此时教师可以在几个学生的不同解答中让学生自己去发现问题，从中体会配套物品之间的数量关系是列方程的关键。
师：随着工人们大量生产的螺钉和螺母，现急需打包，在打包过程中我们又碰到一个新的问题：
例题2
一批螺钉和螺母需要打包，由一个人做要40
h
完成.现计划由一部分人先做4
h，然后增加
2人与他们一起做8
h，完成这项工作.
假设这些人的工作效率相同，具体应该先安排多少人工作？
问题1：这是我们以前学过哪种类型的问题？
问题2：你对工程问题了解多少？
【设计意图】问题1使学生回忆以前学过的工程问题；问题2目的是让学生回忆关于工程问题中的基本关系式：（1）工作量=
工作效率×工作时间（2）通常设完成全部工作的总工作量为1.
然后通过表格帮助学生理清各个量的表示方法，并列出方程。（解答过程由学生独立完成，教师点评，学生能解决的教师不讲。）
解法1：表格如下（等量关系：总工作量=前一部分工作量+后一部分工作量）
?
人均效率
人数
时间
工作量
前一部分工作
?
?
?
?
后一部分工作
?
?
?
?
解法2：表格如下（等量关系：总工作量=x人工作量+2人工作量）
?
人均效率
人数
时间
工作量
x人工作
?
?
?
?
2人工作
?
?
?
?
【设计意图】在学生理解了第一种解法的基础上，教师引导学生既可以把总工作量分为前一部分工作量和后一部分工作量；也可以理解为x人一直工作，而另外的2个人工作8小时的工作量之和等于总工作量，同样可以解决问题，让学生在理解的基础上列出方程，体会一题多解。无论哪种方法，关键是：抓住各部分工作量之和等于总工作量是列方程的依据。
问题：回顾刚才的解答，我们是怎么做的？
师生活动：学生通过对例题1的学习和归纳，已经有一些归纳的能力了，故例题2的归纳应放手让学生来讲，没有讲完整的地方由教师补充，完成框图构建：
【设计意图】首先归纳出例题2的解答框图，然后通过两题框图的对比，归纳出一般的用一元一次方程解决实际问题的基本过程。（学生讲教师板书，并提炼出解决实际问题的一般步骤：设、列、解、检、答五步，由学生指出最为关键的是：列方程---即找等量关系是核心）
3．初步应用，巩固新知
1.某水利工地派
48
人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？
2.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要18天，如果先由甲工程队先做2天，再由甲、乙工程队一起施工，还需多少天可以铺设好这条管线？
【设计意图】两位学生板书解答过程，其余同学独立完成解答。在学生完成的基础上，请其他同学补充不同的解答方法，巩固落实例题。
4.
体验感悟
师：回顾本节课，你有哪些收获？
师生活动：学生各抒己见，发表自己本节课的学习体会，教师在学生的基础上，通过PPT小结归纳本节课。
师生活动：通过两个框图的对比，让学生体会用一元一次方程解决实际问题的基本过程和解题步骤，由学生归纳出：建模和化归的数学思想方法。在此基础上教师指出：本节课我们学习的是配套问题和工程问题，后续还将学习利润问题、球赛积分问题…都将用这种思维方式解答；一元一次方程是我们解决实际问题的一种数学工具，后续还将学习二元一次方程组、一元二次方程、分式方程…这些数学工具解决实际问题。
【设计意图】通过具体问题的两个框图的同时呈现，让学生再次深刻体会这种解题的基本过程，同时通过教师的拓展提升让学生更进一步体会用方程这个数学工具来解决实际问题的基本过程。
最后教师与学生分享著名数学家笛卡尔的一段话：
“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解!”
5.作业布置：
（1）作业本（1）P20
（2）请你编写一道生活中的配套问题或工程问题，并用方程的方法加以解决。
解
方
程
设安排x名工人
生产螺钉
如何安排工人使生产的螺钉和螺母刚好配套
代入方程成立
符合实际意义
x=10
22
－
x
=12
2
×1200
x=
2
000(22
－
x)
应该安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母
代入方程成立
符合实际意义
设先安排x名工人
安排合适的人数
使工程顺利完成
x=2
解方程
应该先安排
2名工人工作
设安排x名工人
生产
螺钉
如何安排工人使生产的螺钉和螺母刚好配套
代入方程成立
符合实际意义
x=10
22
－
x
=12
应该安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母
2
000(22
－
x)=2
×1200
x
解方程
设未知数、
列方程
类型一：配套问题
类型二：工程问题
2
000(22
－
x)=2
×1200
x
x=10
22
－
x
=12
x=2
安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母
应该先安排2名工人工作
解一元一次方程
检验
解方程
一元一次方程的解（x=a)
检验
设未知数、
列方程
实际问题
的答案
一元一次方程
核心问题：1.正确分析问题中的相等关系
2.用数学符号语言正确表达
实际问题
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