2020年沪科版八年级上册第15章《专题学习--最短路径之将军饮马问题》（共22张ppt）

(共22张PPT)
再长的路，一步步也能走完，再短的路不迈开双脚也无法到达。
古从军行
〔唐〕李颀
白日登山望烽火，将军饮马傍交河。
……
最短路径之将军饮马问题
课题学习
一位将军从图中的A
地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然后回到B
地军营．请问到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？
将军饮马问题
探索新知
B
·
·
A
l
C
将军饮马问题
两点之间
线段最短
C
探究1
若A、B两地如图所示,请问到河边什么地方饮马可使将军所走的路径最短？
●
探索新知
作图问题：请在直线
上找到一点C，使得AC+BC最短。
B
·
·
A
l
C
探究2
若A，B
两地如图所示，又如何在河l上找到饮马点C，使得AC+BC最短？
将军饮马问题
探索新知
思考：
能把A、B
两点转化到直线l
的两侧吗？
B
·
l
A
·
C
将军饮马问题
B
·
·
A
l
C
探索新知
方法揭晓
作法：
（1）作点B
关于直线l
的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l
相交于点C．
则点C
即为所求．
A
B
l
B′
C
此时路径A-C-B是最短路径。
将军饮马问题
A′
将军饮马问题
B
·
l
A
·
C
作点A或点B关于直线l的对称点，所得到的C点位置不变
方法提示
B
·
l
A
·
C
B′
你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
由轴对称的性质可知，BC
=B′C
，BC′=B′C′．
在△AB′C′中，
∵
AB′＜AC′+B′C′，
∴　AC
+BC＜AC′+BC′．
即　AC
+BC
最短．
A
B
l
B′
C
C
′
证明：如图，在直线l
上任取一点C′（与点C
不重合），连接AC′，BC′，B′C′．
∴AC
+BC=
AC
+B′C
=
AB′
∴
AC′+BC′=
AC′+
B′C′
理论证明
2.最短距离问题的解决方法：
1.基本模型：
l
A
B
A′
C
当两定点在直线同侧时
C
A
l
B
当两定点在直线异侧时
利用“轴对称”
化折为直
阶段小结
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q
两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（
）
D
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
学以致用
2.已知两点A(2，3),B(4,-3),在x轴上找一点P，使PA+PB最小，并求出点P的坐标。
y
x
A
B
A′
P
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
若换成y轴呢？
P
学以致用
探究3
若将军要先让马到草地OM吃草，再到河边ON喝水，最后回到出发点A，你能画出最短路径吗？
M
将军饮马问题
N
O
草地
河流
A
一题多变
分析：1、建模：点在两直线的内部
B
·
A
C
将军饮马问题
O
M
N
2、在OM上找点B，在ON上找点C，
使AB+BC+CA的和最小。
考虑对称点的作用
1.将直线同侧两点问题转化为直线异侧两点问题；
2.利用轴对称的性质可以将相等线段转化。
探究新知
作法：
1、作点A关于直线OM的对称点A1，点A关于直线ON的对称点A2
，
2、连接A1，A2，交OM于B，交ON于C,
则路径A-B-C-A是最短路径。
B
·
A
A1
C
将军饮马问题
O
M
N
A2
AB+BC+CA的和
为什么是最小呢？
两点之间
线段最短
方法揭晓
为什么AB+BC+CA的和最小？
B
·
A
A1
C
将军饮马问题
O
M
N
A2
情节1：
两点之间
线段最短
反思验证
B′
C′
为什么AB+BC+CA的和最小？
B
·
A
A1
C
将军饮马问题
O
M
N
A2
情节2：
两点之间
线段最短
反思验证
探究4
将军从A地出发,先到草地让马吃草，再到河边让马喝水，然后回到B处，请画出最短路径。
O
A
B
N
M
能力提升
将军饮马问题
草地
河流
A
B
N
M
O
分析：1、建模：两点在两直线的内部
2、作对称点，连线
A′
B′
P
G
路径A-P-G-B是最短路径。
探究4
将军从A地出发,先到草地让马吃草，再到河边让马喝水，然后回到B处，请画出最短路径。
能力提升
将军饮马问题
2、一种解决方法：作对称点，利用轴对称的性质化折为直。
B
·
·
A
l
C
1、四种基本模型
(1)两点在直线异侧
(2)两点在直线同侧
(3)点在两直线内部
(4)两点在两相交直线内部
4、一种数学思想：利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型。
3、一个理论依据：两点之间，线段最短。
小结提升
人生没有捷径，但努力绝不会被辜负！