华东师大版七上数学 2.5有理数的大小比较 学案 (含答案)

有理数的大小比较导学案
【目标·概览】
本节是利用数轴及绝对值的基本概念来进行拓展应用的，其具体目标为：
⑴利用数轴比较大小。
⑵学会利用绝对值比较两个负数的大小。
⑶对小学阶段分数的大小比较进行必要的复飞，进一步理解有理数大小比较的方法。
⑷能通过推理过程，了解转化思想。
【思考·交流】
如图所示给出了一周中的每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是_____℃，最高气温是_____℃，你能将这14个温度按从低到高的顺序排列吗？
今天我们专门来讨论这个问题。
【学法·指津】
学习本节知识要综合运用数轴及相反数绝对值等概念的知识，把数轴、相反数、绝对值进行综合分析，结合代数与几何（即数与形）的比较分析得出正确的结论。
比较两个正数的大小，可以使用数轴比较，也可以使用“求差法”比较。
比较一正一负的两数的大小，可以很方便地使用数轴进行分析。
比较两个负数的大小，当然可以使用数轴进行分析，但是有些数在数轴上画起来并不方便。因此可以使用比较它们的绝对值的方法进行分析。如果大家熟练的话，当然也可以使用“求差法”进行比较。
【知识·导学】
通过对数轴的了解，我们知道，在数轴上表示两个有理数，右边的数总比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，但是如何比较两个负数的大小呢？
知识点：（重难点）有理数的大小比较
利用绝对值比较两个负数的大小，明确两个负数比较大小的方法和步骤，两个负数、绝对值大的反而小，比较两个负数的大小，可按下列步骤进行：⑴先求出两个负数的绝对值；⑵比较两个内容是本节的难点，而比较两个正数的大小及正——负等情况的两个数的大小，可以通过数轴来比较有理数的大小。
能力拓展：有理数的大小比较方法有很多，其中“作差法”是一种很重要的方法。其基本步骤为：要比较有理数a、b的大小，先求a-b的值，判断a-b的值的正、负性。若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a【技巧·解悟】
一、考查有理数的大小比较
例1：比较下列各组数的大小
⑴-和- ⑵-和-
解析：比较两个负数的大小，根据绝对值大的反而小的法则，要先求出两个负数的绝对值，再比较绝对值的大小，最后判断两个负数的大小。
答案：⑴∵|-|= |-|== 而< ∴->-
⑵∵|-|== |-|== 而< ∴->-
名师点拨：⑴上面的符号“∵”、“∴”读作“因为”和“所以”，是推理的必要工具；⑵比较分数的大小，要通分化成同分母分数，再比较大小。
例2：在数轴上，下列说法不正确的是（ ）
A.两个有理数，绝对值大的离原点远 B.两个有理数，大的在右边
C.两个负有理数，大的离原点近 D.两个有理数，大的离原点远
解析：A正确，绝对值的几何定义是某一个数所表示的点到原点的距离，绝对值大的当然离原点远。
B正确，在数轴上右边的数总比左边的数大。
C正确，离原点近即意味着它的绝对值小，而两个负有理数，绝对值小的反而大。
D错误，如-2，-5，-2>-5，但-2离原点更近。
例3：有理数a、b在数轴上表示如图所示：
b 0 a
那么（ ）
A.b>a B.|a|>|b| C.-aa
解析：A错误，因为正数大于负数。
B错误，因为表示a的点比表示b的点距离原点更近，而利用绝对值的几何已知知：|a|<|b|。
C错误，-a与b均为负数，但|-a|=|a|<|b|，故-a>b。
D正确，根据b与-b互为相反数在数轴上找出-b所表示的点，可知-b所表示的点在a所表示的点的右边，故-b>a。
答案：D
例4：已知有理数a、b在数轴上所表示的点如图所示，试分析比较a、b、-a、-b的大小，其中正确的是（ ）
a 0 b
A.-a<-b解析：根据数a、b在数轴上的位置及相反数的意义，可在数轴上确定-a、-b的位置。
答案：在数轴上找出表示-a、-b的点。
a -b 0 b -a
故a<-b【能力·拓展】
综合题：
例1：a、b为有理数，且a>0，b<0，|b|>a，则a、b、-a、-b的大小顺序是（ ）
A.b<-a解析：本题综合运用数轴、相反数、绝对值等有关知识来解决。
答案：由a>0，b<0，即知在数轴上a表示的点在原点右边，b所表示的点在原点左边
又∵|b|>a，而a>0，故|b|>|a|，即知b所表示的点比a所表示的点距原点更远些，如图示：
b 0 a
在图中把a、b的相反数也表示出来为：
b -a 0 a -b
由数轴可知：b<-a方法规律：综合运用数轴相反数、绝对值进行分析是一种必要的能力，同学们在其他方法不能凑效的情况下，试一试会起到事半功倍的效果。
例2：已知-a解析：去掉绝对值符号，关键是判断绝对值符号里面的式子的正负性。
答案：∵-20，x-3<0
故|x+2|-|x-3|=(x+2)-(3-x)=x+2-3+x=2x-1
经验技巧：利用不等式来判断某一个式子的正负性，在化简绝对值时要经常用到，由-20呢？是因为-2-2，故数轴上表示x的点在表示-2的点的右边，故x-(-x)>0
∴x+2>0，同理x-3<0
【探究·体验】
图表信息题：
例1：有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，试化简|a-b|-|a|+|b|
b 0 a
解析：结合数轴，利用数形结合，由a、b的对应位置可知：b<0|a|
答案：∵b<00 ∴|a-b|-|a|+|b|=a-b-a+(-b)=a-b-a-b= -2b
名师点拨：本题把数的大小比较、绝对值的意义与数轴有机地结合起来，体现了数形结合的数学思想，用数轴给出问题的已知条件，便于直接地进行分析，解涉及数轴的数的大小比较，相反数、绝对值等知识点的问题，先要掌握这些概念的几何意义。
探究题：
例2：|a|>1且a是负整数，请用“<”将a，，-a，-这几个数按从小到大的顺序连接起来。
解析：∵|a|>1，且a是负整数
∴a的取值为-2，-3，-4，……
当a= -2时，a，，-a，-的排列顺序为：a<<-<-a
当a= -3时，它们排列顺序也是如此。
我们可以试用a= - 4，-5，……均可以发现它们的排列顺序都是a<<-<-a
答案：它们的排列顺序为a<<-<-a
方法规律：解决此类比较大小的问题可以使用特殊值方法进行探究，然后作出判断。
【习题·解疑】
P34 练习
⒈⑴因为|-|>|-|，∴-<-
⑵因为|-10|<|-100|，∴-10>-100
⒉⑴正确 ⑵错误，|-3|=|+3|
⑶错误，∵|+|= |-|=，且<，∴|+|<|-|
⑷错误，|-|= |-|=，且>，∴|-|>|-|
⒊⑴∵|-|= |-|=，又∵<，∴->-
⑵∵|-|=0.625 |-0.618|=0.618，又∵0.625>0.618，∴-<-0.618
⒋⑴大于-4的负整数有-3，-2，-1等3个。
⑵小于4的正整数有3，2，1等3个。
⑶大于-4且小于4的整数有-3，-2，-1，0，1，2，3等7个。
P34 习题2.5
⒈⑴∵|-9.1|=9.1 |-9. 099|=9.099，又∵9.1>9.099，∴-9.1<-9.099
⑵∵|-8|=8，∴-8<|-8|
⑶∵|-|=，|-|=，又∵<，∴>-
⑷∵-|-3.2|= -3.2 -（+3.2）=3.2，∴-|-3.2|= -（+3.2）
⒉-4＜-＜-3.14＜0＜0.14＜2.7
⒊绝对值小于5的所有整数为±4; ±3; ±2; ±1; 0
⒋(1)没有最小的正数,也没有最大的负数,因为表示正数的点可以无限地按近原点,表示负数的点也可以无限地按近原点.
(2)有绝对值最小的有理数它是0
【自主评价】
基础题
比较下列各组数的大小
⒈- - ⒉-0.25 -(-0.2) ⒊-π -3.1416 ⒋-(+3.5) -|-3.5|
⒌-9.1 -9.088 ⒍-|-4.3| -(+4.3) ⒎- -
填空:
⒏大于-2且小于6的整数有 其中非负数有 个
⒐若x＜0 y＜0且x＜y，则|x| |y|
选择题：
⒑如果|-a|=-a,那么（ ）
A、-a一定是负数 B、|a|一定是正数 C、-a一定是非负数 D、-|a|不能是零
⒒下列判断正确的是（ ）
A、若a＞b则|a|＜|b| B、若|-a|＞|-b|则a＜b
C、若|a|＞|b|则a＞b D、若a＜b＜0 则 |a|＞|b|
⒓一个正整数n与其倒数，相反数-n相比较下列判断正确的是（ ）
A、-n＜≤n B、-n＜＜n C、＜n＜-n D、-n≤n≤
【自主评价】
⒈-＜-解析：|-|= |-|=　∵＞　　∴-＜-
⒉-π＞-3.1416解析：|-π|=π |-3.1416|=3.1416
∵π＜3.1416 ∴-π＞-3.1416
⒊-0.25＜-(-0.2)解析：正数大于任意负数
⒋-(+3.5)=-|-3.5|解析：-（+3.5）=-3.5 -|-3.5|=3.5
⒌-9.1＜-9.088解析|-9.1|=9.1, |-9.088|=-9.088
∵9.1＞9.088 ∴-9.1＜-9. 088
⒍-|-4.3|=-(+4.3)解析: -|-4.3|=-4.3 -(+4.3)=-4.3
⒎-＞-解析:| -|= |-|= ∵＜ ∴-＞-
⒏解析:大于-2且小于6的整数有-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5其中非负数有6个
⒐解析:两个负数绝对值大的反而小,反而言之,两个负数较大的那个数的绝对值反而小,故|x|＞|y|
⒑C解析：-a的绝对值等于它本身-a，故-a一定是非负数
⒒D解析：可以使用特殊值进行分析
⒓A解析：一般地有-n＜≤n
【资料·交流】
“+-×÷=”符号的来历
你知道 “+-×÷”和“=”这些数字符号的来历吗？
“+”和“-”号都诞生在法国，那是在15世纪的时候，法国有个名叫魏清美的数学家，他非常勤劳整天废寝忘食地搞计算，当时，还没有现成的符号可以使用，他在工作中，一边计算， 一边自言自语地说“在横线上加一竖”，就表示增加的意思吧“+”你就叫加号吧！“从加号中拿掉一竖就是减少的意思，好“一”你就叫做减号吧！”从此以后“+”，“一”号就诞生了。
等于“=”出现比“+”、“-”号晚一百多年 ，它是由16世纪时英国学者列科夫德创造出来的，当年他在研究数学时，经常碰到两个数字相等的情况，又无法标记，就决心创造一个符号，比较了许多图形和符号，他觉得“世界上再没有比两条平行而又相等的直线更相同的了”，于是他就用“=”来表示两个相等的数并取名为“等号”
再说“×”“÷”两个符号，在18世纪，美国的数学家欧德菜，发现乘法也是增加的意思，但又和加法不同怎么办呢？他就把加号斜过来写成“×”表示数字增加的另一种运算法并取名为“乘号”、“÷”号诞生在瑞士，当时学者哈纳在算帐中遇到要把一个数分成几份的问题但得有符号可以表示这种算法，于是，他就用一条横线把两个圆点分开来，即用“÷”表示这种算法，取名为“÷”。
到如今“+”和“-”得到绝大多数国家的公认，可以说是世界通行，“×”和“÷”就有点不同，德国数家莱布尼兹认为，乘号“×”容易与字母x混淆，建设用“·”代替“×”用“：”代替“÷”这一建议也得到承认，于是在一些数字中，也可以看到用“.”来当乘号，不用“×”的现象，还有除号“：”在俄罗斯和德国的数字书中几乎完全用“：”代替“÷”。