北师大版数学九年级上册相似三角形一道相似问题的探解，变式与拓广（附答案）

北师版数学九年级上册相似三角形一道相似问题的探解，变式与拓广
题目：
如图1，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分.试确定点D(点E）的位置.
分析：平行线提供等角，等角提供相似三角形，面积比提供相似比，相似比可以转化成线段比.
解法1：因为DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C，△ADE∽△ABC，
设△ADE的面积为S，高为h，则△ABC的面积为2S，设△ABC的高为m，
则，所以m=h，根据平行线分线段成比例定理，得BD:AD=(m-h):h
=(h-h):h=
1.
解法2：因为=，+
=，所以=2，
所以∶
=1:2,因为DE∥BC，所以∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，△ADE∽△ABC,
所以∶=，所以=1:2,所以AD:AB=1:,所以DE:BC=AD:AB=1:,
所以AD:DB=1:(-1).
点拨与提升：解答时，要仔细把握解题的基本思路：
平行线用于确定解题需要的相似三角形，为解题提供性质使用的基本条件；
2.学会使用两条重要的性质：一是会用分割图形面积和表示整个图形的面积；二是相似三角形面积之比等于相似比的平方.
3.学会一条基本原理：相似比等于面积比的算术平方根.
4.学会使用转化思想.
变式1：变1:1为线段中点，探求新结论
例1如图1，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
分析：由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．
解：因为点D、E分别为边AB、AC的中点，所以DE为△ABC的中位线，
所以DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以=（）2=．所以选C．
点评：利用中位线定理，确定相似三角形是解题的关键，其次，正确确定相似比，为面积比等于相似比平方提供依据
变式2变一般点为中点，求原始三角形的面积
例2如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．8
B．12
C．14
D．16
分析：利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
解：因为在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，所以DE∥BC，DE=BC，
所以△ADE∽△ABC，因为=，所以=，因为△ADE的面积为4，
所以△ABC的面积为：16，所以选D．
点评：确定相似三角形和相似比是解题的关键.
变式3
探求线段的比
例3如图1，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1
B．
C．
1
D．
分析：由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．
解：因为DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C，所以△ADE∽△ABC，
所以（）2=．因为S△ADE=S四边形BCED，所以=，
所以===﹣1．所以选C．
点评：根据已知等面积，把面积转化为相似三角形的面积的比是解题的关键.
变式4
更换线段比，探求三角形的面积
例4
如图2，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　）
A．16
B．18
C．20
D．24
分析：由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值．
解：因为EF∥BC，所以△AEF∽△ABC，因为AB=3AE，所以AE：AB=1：3，
所以S△AEF：S△ABC=1：9，设S△AEF=x，因为S四边形BCFE=16，
所以=，解得：x=2，所以S△ABC=18，所以选B.
点评：正确构造出面积的比等于相比的平方的基本等式是解题的关键.
变式5
变二线平行为三线平行
例5
如图3，已知AB∥CD∥EF，AC=CE=EP，△PAB的面积18.求四边形CDFE的面积.
分析：选择使用相似三角形的面积比等于相似比的平方的相似三角形是解题的关键.
解：设△PCD的面积为m,△PEF的面积n，因为AB∥CD∥EF，所以△PEF∽△PCD∽△PAB，因为AC=CE=EP，所以△PCD∽△PAB的相似比为2:3,△PEF∽△PCD的相似比为1:2，
根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，所以m:18=4：9,所以m=8()，
n:8=1：4,所以n=2()，所以四边形CDFE的面积为m-n=8-2=6().
点评：解答时，把握如下几点：
正确使用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的第一个关键；
正确使用图形面积等于各分割图形面积和.
变式6
连续线段比，探求连续面积比
例6如图4所示，在△ABC中，已知：DE∥FG∥BC，D、F是AB上的点，E、G是AC上的点，且AD：DF：FB=1：2：3，设三角形ADE的面积为S1，四边形DFGE的面积为S2，四边形FBCG的面积为S3，则S1：S2：S3=
。
分析：问题的已知条件折射出两个基本知识点，一个是条件：DE∥FG∥BC，当平行线出现在三角形中，就意味着会有相似三角形的存在；
二是条件：AD：DF：FB=1：2：3，在三角形中出现，就意味着存在线段比，如果是在相似三角形中，就为求相似三角形的相似比，打下基础；
而结论却是求图形的面积比，这就意味着要把平行，线段比联系在一起，这条红线就是：相似三角形的面积比等于相似比的平方这条性质。分析到这，要用什么方法完成问题的解答，已经十分清晰了.
解：在三角形ABC中，因为DE∥BC，所以∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,
所以△ADE∽△ABC，所以,因为AD：DF：FB=1：2：3，
不妨设AD=k，则DF=
2k，FB=
3k
，
AF=AD+DF=
k
+2k
=3k
，AB=
AD+DF+FB=
k
+2k+3k
=6k
，所以，因为三角形ADE的面积为S1，
所以三角形ABC的面积为36S1，在三角形AFG中，因为DE∥FG，
所以∠ADE=∠AFG,∠AED=∠AGF，所以△ADE∽△AFG，所以,
因为AD：DF：FB=1：2：3，不妨设AD=k，则DF=
2k，FB=
3k
，
AF=AD+DF=
k
+2k
=3k
，AB=
AD+DF+FB=
k
+2k+3k
=6k
，
所以，因为三角形ADE的面积为S1，
所以三角形AFG的面积为9S1，所以四边形DFGE的面积为S2=三角形AFG的面积-三角形ADE的面积=9S1-S1=8S1，四边形DFGE的面积为S3=三角形ABC的面积-三角形AFG的面积=36S1-9S1=27S1，所以S1：S2：S3=
S1：8S1：27S1=1：8：27.
解后反思
比较已知条件中的线段比与所求结论中的面积比，看看有什么启示：
条件：AD：DF：FB=1：2：3，结论：
S1：S2：S3
=
1：8：27，
我们就想，能否用线段的比表示对应面积的比呢？
由于13=1，23=8，33=27，因此，我们的猜想是正确的，即可以用对应线段的比表示对应的面积的比。所以，我们得到如下的结论：
如图4所示，在△ABC中，已知：DE∥FG∥BC，D、F是AB上的点，E、G是AC上的点，且AD：DF：FB=1：2：3，设三角形ADE的面积为S1，四边形DFGE的面积为S2，四边形FBCG的面积为S3，则S1：S2：S3=
1：23：33=1：8：27.
此结论能否引申为一个一般性的结论呢？为例稳妥起见，我们不妨先作一步的引申，即
如图5所示，在△ABC中，已知：DE∥FG∥MN∥BC，D、F、M是AB上的点，E、G、N是AC上的点，且AD：DF：FM：MB
=1：2：3：4，设三角形ADE的面积为S1，四边形DFGE的面积为S2，四边形FMNG的面积为S3，四边形MBCN的面积为S4，则S1：S2：S3
：S4=1：23：33：43=1：8：27：64.
证明的过程就有同学们自己来完成.这就坚定了我们的猜想.于是，我们可以将命题的结论引向一般化即：
在△ABC中，已知：DE∥FG∥MN∥BC，D、F、M是AB上的点，E、G、N是AC上的点，且AD1：D1D2：D2D3：……：DnB
=1：2：3：4……：n
，设三角形ADE的面积为S1，四边形DFGE的面积为S2，四边形FMNG的面积为S3，四边形MBCN的面积为S4，……Sn，则S1：S2：S3
：S4……：Sn
=1：23：33：43……：n3.
写到这里，似乎可以收笔，但是总感觉还有更有意义的知识在背后，从那个角度再去思考呢？
仔细观察图形，我们不难发现S1+S2+S3
+S4……+Sn
的面积和，恰好是最大三角形的面积，也就是说，如果三角形ABC形状不变，S1+S2+S3
+S4……+Sn的面积和就是一个定值，
为此我们就想能否利用三角形面积的不变性，求出这个定值呢？即求13+23+33+43……+n3=？
简证：
有前面的知识知道：
S2
=8S1=23
S1，S3
=27S1=33
S1，S4
=64S1=43
S1，……，S4
=64S1=43
S1，
Sn
=n3
S1，
在三角形ABC中，因为DE∥BC，所以∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,所以△ADE∽△ABC，所以
,因为AD1：D1D2：D2D3：……：DnB
=1：2：3：4……：n
不妨设AD=k,则AB=
k
+2k+3k+……+nk
=（1+2+3+……+n）k
，
所以，所以三角形ABC的面积为S1，
所以S1+S2+S3
+S4……+Sn
=
S1+23
S1+33
S1+43
S1+……+n3
S1=（13+23+33+43……+n3）S1，
（13+23+33+43……+n3）S1=S1，即13+23+33+43……+n3=.
多完美的公式啊！