4.2.1指数函数的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（17张PPT）

4.21 指数函数的概念
对于幂 ，我们已经把指数 的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数．
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问题探究
问题１　随着中国经济高速增长，
人民生活水平不断提高，旅游成了
越来越多家庭的重要生活方式．由
于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地
景区自2001年起采取了不同的应对
措施，Ａ地提高了景区门票价格，
而Ｂ地则取消了景区门票．
右表给出了Ａ，Ｂ两地景区2001年
至2015年的游客人次以及逐年增加量．
问题探究
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图
观察图象和表格，可以发现，Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为１０万次）；Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试．
从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
　　
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结果表明，Ｂ 地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数．
做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
１年后，游客人次是２００１年的 倍；
２年后，游客人次是２００１年的 倍；
３年后，游客人次是２００１年的 倍；
……
x年后，游客人次是２００１年的 倍．
如果设经过x年后的游客人次为２００１年的y倍，那么
①
这是一个函数，其中指数 是自变量．
问题２　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
?
?
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指数函数的定义：
函数
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。
问题：以上两个函数有何共同特征？
（1）均为幂的形式；
（2）底数是一个正的常数
（3）自变量在指数位置
注意：
指数函数的定义：
函数
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。
(1)定义域必须是实数集R；
(2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项；
(3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y＝5·ax(a>0且a≠1)不是指数函数；
(4)底数a的范围必须是a>0且a≠1.
探究:
以上三种情况都不利于我们研究指数函数，所以规定：
1.当 时， 不一定有意义，如
3.当 时， 是常数函数
2.当 时， 不一定有意义如 、
？
为什么指数函数 的底数 要满足范围
1.已知指数函数
的图像经过点 求 的值.
分析：指数函数的图象经过点 ， 故 ，
即 ，解得
于是有
思考：确定一个指数函数需要什么条件？
想一想
练习
所以：
2. 函数 是指数函数,则a=_____
3
4.下列图象中，有可能表示指数函数的是（　　）．
●怎样作出草图？
设问：怎样来研究指数函数呢？
研究指数函数的什么？
●主要方法：利用图象来辅助研究性质
●主要内容是函数的性质：
定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等
作图?观察图形特征?得出性质
列表、描点、连线
在同一直角坐标系画出 ， 的图象，
并思考：两个函数的图象有什么关系？
作业：