4.5.2用二分法求方程的近似解-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（21张PPT）

4.5.2
用二分法求方程
的近似解
函数
y
=f
(x)
有零点
函数
y
=f
(x)
的图象与
x
轴有公共点
1、函数的零点与方程的解的关系：
方程
f
(x)=0
有实数解
2、判断在某个区间是否存在零点的方法
如果函数
y=f(x)
在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有
f(a)
f(b)<0
，那么函数
y=f(x)在区间
(a,b)
内有零点，即存在
c
∈
(a,b)，使得
f(c)
=0，这个c也就是方程
f(x)=0
的解。
函数零点存在定理
复习
《购物街》是中央电视台财经频道精心打造的一档大型体验式服务类节目,现已停播.这个节目根植于百姓生活,运用“看商品,猜价格”的游戏形态,将丰富的各类商品和大规模的互动体验结合起来,充分调动了观众的参与热情.只要在限定的时间内猜出的价格在主持人展示某商品价格的区间内,就可以把它拿走.当选手说出一个价格不在规定区间内时,主持人会提示“高了”或“低了”.
一般地,如果选手想以最大可能少的次数猜对价格,应该采用什么样的猜价方法呢?
情景引入
问题：如何求函数y=f(x)的零点？
答：解方程f(x)
=
0，求得方程的实数根.
如，求函数f(x)=x?-x-1的零点.
解：令x?-x-1=0，得
所以，函数f(x)=x?-x-1的零点为
情景引入
探究：如何求函数f(x)=lnx+2x-6(x>0)的零点？
分析：令lnx+2x-6=0，我们不会解这个方程，怎么办？我们会什么？
把方程lnx+2x-6=0等价变形为lnx=-2x+6
在同一直角坐标系内做函数y=lnx和y=-2x+6的图象.
y=lnx
y=-2x+6
而x0就是方程lnx+2x-6=0的实数根，进而就是函数f(x)=lnx+2x-6的零点
观察图象可知，y=lnx和y=-2x+6的图象交点的横坐标x0∈(2,3).
计算，f(2)=ln2+2×2-6=
ln2-2=
ln2-
lne?<0
f(3)=ln3+2×3-6=
ln3>ln1=0
所以，
f(2)·f(3)<0，根据函数零点存在性定理，x0∈(2,3)是正确的.
这只是确定了函数f(x)=lnx+2x-6的零点，即方程lnx+2x-6=0的实数根的范围，这个x0的值究竟是多少呢？
y=lnx
y=-2x+6
我们已经知道方程lnx+2x-6=0的实数根x0∈(2,3)，如何找到这个x0的准确值呢？
一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．
问题探究
1
2
3
4
5
f(x)=lnx+2x-6
∵f(2)<0，
f(3)>0∴x0∈(2,3)
∵f(2.5)<0，
f(3)>0∴x0∈(2.5,3)
∵f(2.5)<0，
f(2.75)>0∴x0∈(2.5,2.75)
∵f(2.5)<0，
f(2.625)>0∴x0∈(2.5,2.625)
∵f(2.5)<0，
f(2.5625)>0∴x0∈(2.5,2.5625)
∵f(2.53125)<0，
f(2.5625)>0∴x0∈(2.53125,2.5625)
零点所在区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
-0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.
625
0.215
(2.5,2.625)
2.562
5
0.066
(2.5,2.5625)
2.
531
25
-0.009
(2.53125,2.5625)
2.
546
875
0.029
(2.53125,2.546875)
2.
539
062
5
0.010
(2.53125,2.5390625)
2.
535
156
25
0.001
例如，当精确度为0.01时，因为|2.539
062
5-2.531
25|=0.007
812
5<0.01，所以区间(2.531
25,
2.539
062
5)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将x
=
2.531
25作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解.
二分法
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
原创
用二分法求函数零点近似值的步骤
思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？
思考2:为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？
确定区间[a,b]，使
f(a)f(b)<0
求区间的中点c，并计算f(c)的值
思考3:若f(c)=0说明什么？
若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0
，则分别说明什么？
若f(c)=0
，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)<0
，则零点x0∈(a,c)；
若f(c)·f(b)<0
，则零点x0∈(c,b).
思考4:若给定精确度ε，如何选取近似值？
当|m—n|<ε时，区间[m，n]内的任意一个值都是函数零点的近似值.
思考5：对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？
x
y
o
x
y
o
二分法求函数y=f(x)零点的步骤：
(1)
确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)
求区间(a,b)的中点c；
(3)
计算f(c)
；
若f(c)=0，则c就是函数的零点c
；
若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；
若f(b)·f(c)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c,b))；
(4)
判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)
(3)
(4)
；
由|a-b|<ε可知，区间[a,b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值，为了方便，我们统一区间端点值a(或b).
例
借助信息技术，用二分法求方程
2x+3x=7函数的近似解（精确度为0.1）
解：原方程即2x+3x-7=0
，令f(x)
=2x+3x-7，用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
观察函数图象和上表，可知f(1)·f(2)<0.
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
1.5
0.33
(1,1.5)
1.25
-0.87
(1.25,1.5)
1.375
-0.28
(1.375,1.5)
1.4375
0.02
(1.375,1.4375)
由于
|1.375-1.4375|=0.0625<0.1
此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。
二分法求方程近似解，计算量较大，重复步骤多，这可以让计算机来完成，但是得是人设计好计算程序，由计算机执行，其程序框图为：
开始
定义f(x)
输入ε,a,b
b=c
a=c
a=c
输出解x=a
结束
是
否
是
否
是
否
练习：
通过下列函数的图象,判断不能用“二分法”求其零点的是(　
　)
(A)①②③
(B)②③④
(C)①②④
(D)①③④
C
解析:能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0,由图象可得,只有③能满足此条件,故不能用“二分法”求其零点的是①②④,故选C.
二分法概念的理解
例(1)若二次函数f(x)=2x2+3x+m存在零点,且能够利用二分法求得此零点,则实数m的取值范围是　　　　.?
(2)若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:
f(2)≈-0.369
1　　　　
f(2.5)≈0.334
0
f(2.25)≈-0.011
9
f(2.375)≈0.162
4
f(2.312
5)≈0.075
6
f(2.281
25)≈0.031
9
则方程x-3+log3x=0的一个近似解(精确度0.1)为(　　)
A.2.1
B.2.2
C.2.3
D.2.4
解析:(1)由题意知,
(2)由参考数据可知f(2.25)f(2.312
5)<0,
且|2.312
5-2.25|=0.062
5<0.1,所以当精确度为0.1时,可以将x=2.3作为函数f(x)=log3x+x-3零点的近似值,也即为方程x-3+log3x=0的近似根.