5.2.2同角三角函数的基本关系-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（16张PPT）

5.2.2 同角三角函数的基本关系
一、创设情境：
；
；
问题2. 三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？
问题1. 如图1，设 是一个任意角， 它的终边 与单位圆交于 ，那么
O
x
y
图1
，由勾股定理得
因此 ，即
二、探究新知：
问题⑵ 当角 的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？
对于任意角 都有
结论：
平方关系
问题⑴ 当角 的终边不在坐标轴时，正弦、余弦之间的关系是什么？（如图2 ）
1、探究同角正弦、余弦之间的关系
O
x
y
图2
当角 的终边在 坐标轴上时,
当角 的终边在 坐标轴上时,
质疑：① 能写成 吗？
②“同角”是什么含义？
（不能）
（一是“角相等”，二是对“任意一个角”）
2.观察任意角 的三角函数
商的关系
思考：
注：
商的关系不是对任意角都成立 ,是在等式两边都有意义的情况下，等式才成立
2.观察任意角 的三角函数的定义
商的关系
注：
商的关系不是对任意角都成立 ,是在等式两边都有意义的情况下，等式才成立
思考：
同一角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切
结论：
判断题
⑴ 注意“同角”，至于角的形式无关重要，
如sin24?＋cos24?＝1等.
⑵ 注意这些关系式都是对于使它们有意
义的角而言的.
⑶ 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要
能灵活运用（正用、反用、变形用）.
注 意
例题6
解：
当 是第三象限角时，
当 是第四象限角时，
例题互动
自我诊断：
如何应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值及恒等证明等问题
讨论交流：
移项变形：
常用于正弦、余弦函数的相互转化，相互求解。
注：
在开方时，由角 所在的象限来确定开方后的符号。
即
变形：
由正弦正切，求余弦
由余弦正切，求正弦
由正弦余弦，求正切
注：
所得三角函数值的符号是由另外两个三角函数值的符号确定的。
例题7
证法一：
左边
证法二：
所以原式成立
因为
所以
发散思维
提问：本题还有其他证明方法吗？
交流总结证明一个三角恒等式的方法,注意选择最优解

三角函数恒等式证明的一般方法
（2）证明原等式的等价关系
注：要注意两边都有意义的条件下才恒等
（1）从一边开始证明它等于另一边（由繁到简）
（3）证明左、右两边等于同一式子
三、应用反馈：
解：
方程(组)思想
证法一：
左边
右边
左边=右边
所以原等式成立
左边
中间
右边
所以原等式成立
左边 右边
证法二：
四、归纳总结：
（2）三角函数值的计算与证明
利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限进行分类讨论。
证明时常用方法：
方法1：从一边开始证明它等于另一边；
方法2：证明原等式的等价关系，
方法3： 证明左、右两边等于同一式子；
在化简证明过程中要注意两边都有意义的条件下才恒等。
（1）同角三角函数的基本关系式
（前提是“同角”， 因此 ）
本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法
（应用极为广泛；巧用“1” ， ）
五、拓展延伸：