第二章单元评估卷(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为( )
A．4
B．－4
C．－
D.
2．若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，则实数m的取值范围是( )
A.
B．(0,1)
C.
D.
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
4．已知双曲线y2－x2＝1的离心率为e，且抛物线y2＝2px的焦点坐标为(e2,0)，则p的值为( )
A．－2
B．－4
C．2
D．4
5．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6.
如图，过抛物线y2＝3x的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|AB|＝( )
A．4
B．6
C．8
D．10
7．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为，则k的值为( )
A．－
B.
C．±
D．±
8．已知椭圆＋＝1的左、右顶点分别为A，B，在椭圆上有一个异于点A，B的动点P，若直线PA的斜率为k0，则直线PB的斜率为( )
A.
B．－
C．－k0
D．－k0
9．设F1，F2分别为曲线C1：＋＝1的左、右焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是( )
A.
B.
C.
D．－
10．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞)
B．[3＋2，＋∞)
C.
D.
11．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
12．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k等于( )
A.
B.
C.
D.
答案
1．C
2．B 本题主要考查椭圆的基本概念．由题意得3m>0,2m＋1>0且2m＋1>3m，得03．C 本题主要考查有关双曲线基本概念的运算．∵e2＝＝＝1＋＝，∴＝.又a>0，b>0，∴＝，∴C的渐近线方程为y＝±x，故选C.
4．D 由条件知，双曲线的离心率为e＝，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以＝2，所以p＝4.故选D.
5．C 由2x2－5x＋2＝0可得x1＝2，x2＝，又圆锥曲线化为标准方程为＋＝1，若e＝2，则方程表示双曲线，且焦点在x轴上，有一条；若e＝，则方程表示椭圆，焦点不确定，可有2条．故选C.
6．A
本题主要考查抛物线的定义．分别过点A，B作AA1，BB1垂直于准线l，垂足分别为A1，B1，由抛物线的定义得|BF|＝|BB1|.∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°.又|AA1|
＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴|BF|＝1，|AB|＝4，故选A.
7．C 本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用．由题意知点B的横坐标是c，故点B的坐标为，则斜率k＝＝±＝
±＝±＝±(1－e)＝±，故选C.
8．B 本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算．由题设知A(－2,0)，B(2,0)．设P(x0，y0)(x0≠±2)，
∴kPA＝，kPB＝.∵点P在椭圆上，∴＋＝1，∴y＝3，∴kPA·kPB＝·＝＝＝－.∵kPA＝k0，
∴kPB＝－，故选B.
9．B 本题主要考查椭圆和双曲线的定义及余弦定理的应用．曲线C1：＋＝1与曲线C2：－y2＝1的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P为第一象限的交点．则|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－.又|F1F2|
＝4，在△F1PF2中，由余弦定理可求得cos∠F1PF2＝＝，故选B.
10．B 因为F(－2,0)，所以c＝2，
所以a2＝c2－b2＝3，所以a＝，
设P(x，y)，则x≥，
所以＝(x，y)，＝(x＋2，y)，
所以·＝x(x＋2)＋y2＝x2＋2x＋y2
＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1(x≥)，
因为函数y＝x2＋2x－1在[，＋∞)上单调递增，所以当x＝时，ymin＝3＋2，
故·的取值范围为[3＋2，＋∞)．故选B.
11．D 设|AF1|＝m，|AF2|＝n，
依题意有m＋n＝4，
m2＋n2＝|F1F2|2＝12，
两式联立，得mn＝2，
所以(n－m)2＝m2＋n2－2mn＝8
又n>m，所以n－m＝2，
故双曲线C2的离心率
e＝＝＝.故选D.
12．D 将y＝k(x＋2)代入y2＝8x得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得x＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，＝5，解得k2＝，又因为k>0，所以k＝.故选D.
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第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.
14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P在侧面ABB1A1内的轨迹为________．
15．已知双曲线－＝1上一点P到F(3,0)的距离为6，O为坐标原点，若＝(＋)，则||＝________.
16．设抛物线M：y2＝2px(p>0)的焦点F是双曲线N：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，若M与N的公共弦AB恰好过点F，则双曲线N的离心率e＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(10分)
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点．
(1)用p表示|AB|；
(2)若·＝－3，求这个抛物线的方程．
18．(12分)设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求k的值．
答案
13.
14．③
解析：本题主要考查动点的轨迹问题．依题意可知点P到点B的距离等于其到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义，可知动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过点A的抛物线的一部分．①中的图象为直线的图象，排除①；②中B不是抛物线的焦点，排除②；④中的图象没有过点A，排除④.故填③.
15．1或5
解析：本题主要考查双曲线的定义及向量的中点表示．由题意知点F(3,0)为双曲线的右焦点．设双曲线－＝1的左焦点为F1，由＝(＋)，知Q为PF的中点．连接PF1，则||＝||.由|||
－|||＝4，||＝6，得||＝2或10，故||＝1或5.
16.＋1
解析：本题主要考查双曲线、抛物线的焦点．∵抛物线M：y2＝2px(p>0)的焦点为F，双曲线N：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)，∴＝c.又公共弦AB恰好过点F，得AB为抛物线M的通径，∴AB＝2p＝，∴b2＝2ac?c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0，∴e＝＋1或e＝1－(舍去)．
17．解：(1)抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程是y＝x－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.
(2)由(1)知x1x2＝，x1＋x2＝3p，
∴y1y2＝＝x1x2－(x1＋x2)＋＝－＋＝－p2，
∴·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－＝－3，
解得p2＝4，∴p＝2.
∴这个抛物线的方程为y2＝4x.
18．解：(1)过P作x轴的垂线且垂足为N，
由题意可知|PM|－|PN|＝，而y≥0，
所以|PN|＝y，
所以＝y＋，
化简得x2＝2y(y≥0)为所求的方程．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得x2－2kx－2＝0，
所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－2，
|AB|＝
＝
＝2，
所以k4＋3k2－4＝0，而k2≥0，
所以k2＝1，所以k＝±1.
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19.(12分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论．
(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取值范围．
20．(12分)已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，都有∠POQ＝.若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
19．解：(1)点F在直线l上?|FA|＝|FB|?A，B两点到抛物线的准线的距离相等，
∵抛物线的准线是x轴的平行线，∴上述条件等价于y1＝y2?x＝x?(x1＋x2)(x1－x2)＝0，
∵x1≠x2，∴当且仅当x1＋x2＝0时，直线l经过抛物线的焦点F.
(2)设l在y轴上的截距为b，依题意，得l的方程为y＝2x＋b.
则过点A，B的直线方程可写为y＝－x＋m，
联立化简得2x2＋x－m＝0，
∴x1＋x2＝－.
∵A，B为抛物线上不同的两点，
∴上述方程的判别式Δ＝＋8m>0，即m>－.
设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，
则x0＝－，y0＝－x0＋m＝＋m.
又点N在直线l上，∴＋m＝－＋b，于是b＝＋m>－＝，
∴l在y轴上的截距的取值范围为.
20．解：(1)椭圆＋＝1的右焦点为(4,0)，
所以抛物线C的方程为y2＝16x.
(2)设点M(a,0)(a≠0)满足题设，
当PQ的斜率存在时，PQ的方程为y＝k(x－a)，
则联立
?k2x2－2(ak2＋8)x＋a2k2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝a2，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则由∠POQ＝得x1x2＋y1y2＝0，从而x1x2＋k2(x1－a)(x2－a)＝0?a2－16a＝0?a＝16，若PQ的方程为x＝a，代入抛物线方程得y＝±4，
当∠POQ＝时，a＝4，即a＝16，
所以存在满足条件的点M(16,0)．
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21.(12分)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，若直线l：x＝与两条渐近线相交于P，Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．
(1)求双曲线C的离心率e；
(2)若直线y＝ax＋b被双曲线C所截得的弦长为，求双曲线C的方程．
22．(12分)已知两定点E(－2,0)，F(2,0)，动点P满足·＝0，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满足＝，点M的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点D(0，－2)作直线l与C交于A，B两点，点N满足＝＋(O为原点)，求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线l的方程．
答案
21.解：
(1)双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x，与直线l：x＝的两交点为P，Q.
设直线l交x轴于点M(如图)．
∵△PFQ为等边三角形，则有|MF|＝|PQ|.
∴c－＝，即＝，
解得b＝a，∴c＝2a，∴e＝＝2.
(2)由(1)得双曲线C的方程为－＝1.
设直线y＝ax＋b与双曲线C的两交点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)．
把y＝ax＋b＝ax＋a代入双曲线C的方程，
得(a2－3)x2＋2a2x＋6a2＝0.
则
∴a2<6，且a2≠3.
又x1＋x2＝，x1x2＝，
∴直线y＝ax＋b被双曲线C所截得的弦长为
＝
＝
＝
＝，
化简整理得13a4－77a2＋102＝0.
∴a2＝2或a2＝，满足a2<6且a2≠3.
∴双曲线C的方程为－＝1或－＝1.
22．解：(1)因为动点P满足·＝0，
所以点P的轨迹是以EF为直径的圆，
所以动点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.
设M(x，y)是曲线C上任一点，
因为PQ⊥x轴，＝，所以点P的坐标为(x,2y)，
因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2＋(2y)2＝4，
所以曲线C的方程是＋y2＝1.
(2)因为＝＋，
所以四边形OANB为平行四边形，
当直线l的斜率不存在时显然不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx－2，l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
由Δ＝162k2－48(1＋4k2)>0得k2>，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
因为S△OAB＝|OD||x1－x2|＝|x1－x2|，
所以S?OANB＝2S△OAB＝2|x1－x2|
＝2
＝2
＝2＝8，
令4k2－3＝t，则4k2＝t＋3(由上可知t>0)，
S?OANB＝8＝8≤8＝2，
当且仅当t＝4，即k2＝时取等号；
所以当k＝±，平行四边形OANB面积的最大值为2，此时直线l的方程为y＝±x－2.第二章单元评估卷(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为( )
A．4
B．－4
C．－
D.
2．若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，则实数m的取值范围是( )
A.
B．(0,1)
C.
D.
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
4．已知双曲线y2－x2＝1的离心率为e，且抛物线y2＝2px的焦点坐标为(e2,0)，则p的值为( )
A．－2
B．－4
C．2
D．4
5．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6.
如图，过抛物线y2＝3x的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|AB|＝( )
A．4
B．6
C．8
D．10
7．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为，则k的值为( )
A．－
B.
C．±
D．±
8．已知椭圆＋＝1的左、右顶点分别为A，B，在椭圆上有一个异于点A，B的动点P，若直线PA的斜率为k0，则直线PB的斜率为( )
A.
B．－
C．－k0
D．－k0
9．设F1，F2分别为曲线C1：＋＝1的左、右焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是( )
A.
B.
C.
D．－
10．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞)
B．[3＋2，＋∞)
C.
D.
11．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
12．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k等于( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.
14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P在侧面ABB1A1内的轨迹为________．
15．已知双曲线－＝1上一点P到F(3,0)的距离为6，O为坐标原点，若＝(＋)，则||＝________.
16．设抛物线M：y2＝2px(p>0)的焦点F是双曲线N：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，若M与N的公共弦AB恰好过点F，则双曲线N的离心率e＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(10分)
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点．
(1)用p表示|AB|；
(2)若·＝－3，求这个抛物线的方程．
18．(12分)设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求k的值．
19.(12分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论．
(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取值范围．
20．(12分)已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，都有∠POQ＝.若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
21.(12分)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，若直线l：x＝与两条渐近线相交于P，Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．
(1)求双曲线C的离心率e；
(2)若直线y＝ax＋b被双曲线C所截得的弦长为，求双曲线C的方程．
22．(12分)已知两定点E(－2,0)，F(2,0)，动点P满足·＝0，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满足＝，点M的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点D(0，－2)作直线l与C交于A，B两点，点N满足＝＋(O为原点)，求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线l的方程．
