第三章单元评估卷(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．已知f(x)＝，则f′(e)＝( )
A.
B.
C．－
D．－
2．函数f(x)＝3lnx＋x2－x＋在点(，f())处的切线斜率是( )
A．－2
B.
C．2
D．4
3．函数f(x)＝( )
A．在(0,2)上单调递减
B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增
C．在(0,2)上单调递增
D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减
4．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调减区间为( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1,2)
D．[2，＋∞)
5．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图，则f(x)的图象可能是( )
6．函数y＝2x3－2x2在[－1,2]上的最大值为( )
A．－5
B．0
C．－1
D．8
7．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
8．若函数f(x)＝x3－ax2＋ax在(0,1)内有极大值，在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.
9．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，且f(x)在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围是( )
A．a>－1
B．－1
C．0D．a>1
10．若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )
A．f<
B．f>
C．f<
D．f>
11．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
12．对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )
A．－1是f(x)的零点
B．1是f(x)的极值点
C．3是f(x)的极值
D．点(2,8)在曲线y＝f(x)上
答案
1．D ∵f′(x)＝＝，
∴f′(e)＝＝－.
2．C f′(x)＝＋2x－，所以f′()＝2.故选C.
3．B f′(x)＝＝
＝.
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.
∴x∈(－∞，0)和x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
x∈(0,1)和x∈(1,2)时，f′(x)<0，故选B.
4．B 由导数几何意义知，在(－∞，2]上f′(x)<0，故单调递减．
5．D 由题中f′(x)图象知，当x∈(－∞，0)时，f(x)为减函数，排除选项A，B，又f′(0)＝c＝0，即f(x)有一个极值点为0.故选D.
6．D y′＝6x2－4x＝2x(3x－2)，列表：
x
－1
(－1,0)
0
2
y′
＋
－
＋
y
－4
?
0
?
－
?
8
所以ymax＝8.故选D.
7．B 设f(x)＝2x3－6x2＋7，
则f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
∵x∈(0,2)，∴f′(x)<0.
∴f(x)在(0,2)上递减，又f(0)＝7，f(2)＝－1，
∴f(x)在(0,2)上有且只有一个零点，
即方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内只有一个根．
8．A f′(x)＝x2－2ax＋a，
由题意知，f′(x)＝0在(0,1)，(1,2)内都有根，
且f′(0)>0，f′(1)<0，f′(2)>0，
由题意知，即?19．B ∵f(x)在x＝a处取得极大值，∴f(x)在x＝a附近左增右减，分a>0，a＝0，a<0讨论易知－110．C 构造函数F(x)＝f(x)－kx，
则F′(x)＝f′(x)－k>0，
∴函数F(x)在R上为单调递增函数．
∵>0，∴F>F(0)．
∵F(0)＝f(0)＝－1，∴f－>－1，
即f>－1＝，
∴f>，故C错误．
11．A 当x>0时，令F(x)＝，则F′(x)＝<0，∴当x>0时，F(x)＝为减函数．∵f(x)为奇函数，且由f(－1)＝0，得f(1)＝0，故F(1)＝0.
在区间(0,1)上，F(x)>0；
在(1，＋∞)上，F(x)<0，即当00；
当x>1时，f(x)<0.
又f(x)为奇函数，
∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f(x)<0.
综上可知，f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．故选A.
12．A f′(x)＝2ax＋b.
若A正确，则f(－1)＝0，即a－b＋c＝0， ①
若B正确，则f′(1)＝0，即2a＋b＝0， ②
若C正确，则f′(x0)＝0，且f(x0)＝3，
即f＝3，即c－＝3. ③
若D项正确，则f(2)＝8，即4a＋2b＋c＝8. ④
假设②③④正确，则由②得b＝－2a，代入④得c＝8，代入③得8－＝3，解得a＝5，b＝－10，c＝8.
此时f(x)＝5x2－10x＋8，f(－1)＝5×(－1)2－10×(－1)＋8＝5＋10＋8＝23≠0，即A不成立．
故B，C，D可同时成立，而A不成立．故选A.
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第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．若函数f(x)＝的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
14．曲线y＝在点(1，m)处的切线方程为________．
15．已知a<0，函数f(x)＝ax3＋lnx，且f′(1)的最大值是－12，则实数a的值为________．
16．已知函数y＝f(x)在定义域上可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数y＝f′(x)，则不等式xf′(x)≤0的解集是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋bx＋c，
(1)当c＝0时，f(x)在点P(1,3)处的切线平行于直线y＝x＋2，求a，b的值；
(2)若f(x)在点A(－1,8)，B(3，－24)处有极值，求f(x)的表达式．
18．(12分)
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示．
(1)求x0的值；
(2)求a，b，c的值．
答案
13．[0，＋∞)
解析：f′(x)＝′＝a＋，由题意得，a＋≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥－，x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥0.
14．3x＋y－5＝0
解析：由题意得m＝2，
y′＝＝，y′x＝1＝－3，
切线方程为y－2＝－3(x－1)，即3x＋y－5＝0.
15．－2
解析：f′(x)＝3ax2＋，则f′(1)＝3a＋.
∵a<0，
∴f′(1)＝－≤－2
＝－12.
当－3a＝，即a＝－2时，取“＝”．
16.∪[0,1]
解析：当x<0时，f′(x)≥0的解集是，
当x>0时，f′(x)≤0的解集是(0,1]，
当x＝0时，xf′(x)≤0也成立，
所以不等式xf′(x)≤0的解集是∪[0,1]．
17．解：(1)当c＝0时，f(x)＝x3－2ax2＋bx.
所以f′(x)＝3x2－4ax＋b.依题意可得f(1)＝3，f′(1)＝1，即解得
(2)f(x)＝x3－2ax2＋bx＋c，
所以f′(x)＝3x2－4ax＋b.
由题意知－1,3是方程3x2－4ax＋b＝0的两根，
所以解得a＝，b＝－9，
由f(－1)＝－1－2a－b＋c＝8，a＝，b＝－9，
可得c＝3，所以f(x)＝x3－3x2－9x＋3.
检验知，合题意．
18．解：(1)由题图可知，在(－∞，1)上f′(x)>0，在(1,2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)>0.故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上递增，在(1,2)上递减．因此f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.
(2)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，
可得解得a＝2，b＝－9，c＝12.
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19.(12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：万元/千克)满足关系式y＝＋(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3万元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
20．(12分)已知函数f(x)＝lnx－.
(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值．
答案
19．解：(1)因为x＝5时，y＝2，所以＋1＝2，所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋(x－3)(x－6)2，其中3于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值6
单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点；所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于6万元．
答：当销售价格为4万元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
20．解：(1)由题意f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝＋＝，
∵a>0，∴f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)由(1)可知，f′(x)＝.
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去)．
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，
∴f(x)min＝f(e)＝1－＝?a＝－(舍去)．
③若－e当1∴f(x)在(1，－a)上为减函数；
当－a0，
∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝?a＝－.
综上所述，a＝－.
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21.(12分)设函数f(x)＝(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．
22．(12分)已知函数f(x)＝x3－ex2＋mx＋1(m∈R)，g(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)对任意x1，x2∈(0，＋∞)，若g(x1)答案
21.解：(1)对f(x)求导得
f′(x)＝
＝，
因为f(x)在x＝0处取得极值，
所以f′(0)＝0，即a＝0.
当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，
故f(1)＝，f′(1)＝，
从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.
(2)由(1)知f′(x)＝.
令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，
由g(x)＝0解得x1＝，
x2＝.
当x当x10，即f′(x)>0，故f(x)为增函数；
当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数．
由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝
≤3，解得a≥－，故a的取值范围为.
22．解：(1)f′(x)＝x2－2ex＋m，Δ＝4(e2－m)，
①当m≥e2，Δ≤0，f′(x)≥0，∴f(x)在R上单调递增．
②当m0.令f′(x)>0，得xe＋，
∴f(x)在(－∞，e－)和(e＋，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0，得e－(2)∵g′(x)＝，令g′(x)＝＝0得，x＝e；令g′(x)>0得，0e.∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(e)＝.又f′(x)＝(x－e)2＋m－e2，∴当x>0时，f′(x)min＝m－e2，∴?x1，x2∈(0，＋∞)，g(x1)e2＋.第三章单元评估卷(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．已知f(x)＝，则f′(e)＝( )
A.
B.
C．－
D．－
2．函数f(x)＝3lnx＋x2－x＋在点(，f())处的切线斜率是( )
A．－2
B.
C．2
D．4
3．函数f(x)＝( )
A．在(0,2)上单调递减
B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增
C．在(0,2)上单调递增
D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减
4．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调减区间为( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1,2)
D．[2，＋∞)
5．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图，则f(x)的图象可能是( )
6．函数y＝2x3－2x2在[－1,2]上的最大值为( )
A．－5
B．0
C．－1
D．8
7．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
8．若函数f(x)＝x3－ax2＋ax在(0,1)内有极大值，在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.
9．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，且f(x)在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围是( )
A．a>－1
B．－1C．0D．a>1
10．若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )
A．f<
B．f>
C．f<
D．f>
11．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
12．对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )
A．－1是f(x)的零点
B．1是f(x)的极值点
C．3是f(x)的极值
D．点(2,8)在曲线y＝f(x)上
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．若函数f(x)＝的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
14．曲线y＝在点(1，m)处的切线方程为________．
15．已知a<0，函数f(x)＝ax3＋lnx，且f′(1)的最大值是－12，则实数a的值为________．
16．已知函数y＝f(x)在定义域上可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数y＝f′(x)，则不等式xf′(x)≤0的解集是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋bx＋c，
(1)当c＝0时，f(x)在点P(1,3)处的切线平行于直线y＝x＋2，求a，b的值；
(2)若f(x)在点A(－1,8)，B(3，－24)处有极值，求f(x)的表达式．
18．(12分)
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示．
(1)求x0的值；
(2)求a，b，c的值．
19.(12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：万元/千克)满足关系式y＝＋(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3万元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
20．(12分)已知函数f(x)＝lnx－.
(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值．
21.(12分)设函数f(x)＝(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．
22．(12分)已知函数f(x)＝x3－ex2＋mx＋1(m∈R)，g(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)对任意x1，x2∈(0，＋∞)，若g(x1)