第三章单元评估卷(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．若函数f(x)的导数为－2x2＋1，则f(x)可以等于( )
A．－2x3＋1
B．x＋1
C．－4x
D．－x3＋x
2．已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )
A．0秒、2秒或4秒
B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒
D．0秒、4秒或8秒
3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
4．一质点做直线运动，由始点经过t
s后与初始位置间的距离为s＝t3－6t2＋32t，则速度为0的时刻是( )
A．t＝4
s
B．t＝8
s
C．t＝4
s或t＝8
s
D．t＝0或t＝4
s
5．函数y＝x2ex的单调递减区间是( )
A．(－1,2)
B．(－∞，－1)与(1，＋∞)
C．(－∞，－2)与(0，＋∞)
D．(－2,0)
6．若曲线f(x)＝x2－1与g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，则x0等于( )
A.
B．－
C.
D.或0
7．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为( )
A．20
B．9
C．－2
D．2
8．设函数f(x)的图象如图，则函数y＝f′(x)的图象可能是下图中的( )
9．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值范围是( )
A．m<2或m>4
B．－4
C．2D．以上皆不正确
10．如果圆柱的轴截面周长为定值4，那么圆柱体积的最大值为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
11．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的减区间是( )
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(－2，－1)
12．把一个周长为12
cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )
A．1∶2
B．1∶π
C．2∶1
D．2∶π
答案
1．D 选项A中函数的导数为f′(x)＝－6x2；选项B中函数的导数为f′(x)＝1；选项C中函数的导数为f′(x)＝－4；选项D中函数的导数为f′(x)＝－2x2＋1.
2．D s′＝′＝t3－12t2＋32t＝t(t－4)(t－8)，令s′＝0，则有t(t－4)(t－8)＝0，解得t＝0或t＝4或t＝8.
3．C 在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．
4．C 速度为0即s′＝0，由s′＝t2－12t＋32＝0，得t＝4或t＝8，故选C.
5．D y′＝(x2ex)′＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)．∵ex>0，∴xex(x＋2)<0，即－26．A ∵f′(x)＝2x，g′(x)＝－3x2，
∴(2x0)·(－3x)＝－1，解得x0＝.
7．C 由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，
∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，又点(2，－1)在抛物线上，
∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C.
8．D 由y＝f(x)图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.
9．D f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，
∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28＝4(m2－6m＋8)≤0，∴2≤m≤4，故选D.
10．A 设圆柱底面半径为r，高为h，则4r＋2h＝4，即2r＋h＝2，则体积V圆柱＝πr2h＝πr2(2－2r)＝2πr2－2πr3，由h＝2－2r>0得00；当11．A 令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，f()＝2，f(－)＝6，得a＝1，b＝4，当x∈(－1,1)时，f′(x)＝3x2－3<0.即－112．C 设圆柱的高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(0当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4,4∶2＝2∶1，故选C.
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第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
14．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．
15．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)在R上是单调递增函数，则a，b，c满足的关系式为________．
16．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)求下列函数的导数．
(1)y＝xsinx－；
(2)f(x)＝3xsinx－；
(3)y＝(2x2＋3)(3x－2)．
18．(12分)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝－是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a)上的最大值．
答案
13．(－2,15)
解析：∵y′＝3x2－10＝2，∴x＝±2.又点P在第二象限内，∴x＝－2，∴点P的坐标为(－2,15)．
14.
解析：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，令f′(x)>0得x>a或x<－a，令f′(x)<0得－a0，∴2a3＋a>0，当x＝a时，f(x)取极小值f(a)＝a－2a3，由题意得a－2a3<0，又a>0，∴1－2a2<0，∴a>.
15．a>0，且b2≤3ac
解析：由题意可知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0恒成立，则即a>0，且b2≤3ac.
16．2 3
解析：令y′＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)＝0，解得x1＝0，x2＝，x3＝－.又f(1)＝a－4a＋b＝b－3a，f(2)＝16a－16a＋b＝b，f()＝b－4a，f(0)＝b，f(－)＝b－4a.∵∴a＝2，b＝3.
17．解：(1)y′＝(xsinx)′－′
＝sinx＋xcosx－.
(2)∵(3xsinx)′＝(3x)′sinx＋3x(sinx)′
＝3xln3sinx＋3xcosx＝3x(sinxln3＋cosx)；
′＝
＝
＝.
∴f′(x)＝3x(sinxln3＋cosx)＋.
(3)方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.
方法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.
18．解：(1)f′(x)＝3x2－2ax－3.
∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立，则必有≤1且f′(1)＝－2a≥0，∴a≤0.
即a的取值范围为(－∞，0]．
(2)依题意，得f′＝0，即＋a－3＝0，
∴a＝4，∴f(x)＝x3－4x2－3x.
令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，得x1＝－，x2＝3，则当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
1
(1,3)
3
(3,4)
4
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－6
?
－18
?
－12
由上表可知f(x)在[1,4)上的最大值是f(1)＝－6.
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19.(12分)当0x－.
20．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．
答案
19．证明：设函数f(x)＝sinx－x＋，显然f(0)＝0，则f′(x)＝cosx－1＋＝－2sin2
＝2.
又因为0sinx，所以
>sin>0，2－2>0.
故f′(x)>0，函数f(x)在上是增函数，所以f(x)>f(0)＝0，即sinx>x－.
20．解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，∴a＋b＝4.①
f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b.
由条件得f′(1)·＝－1，
即3a＋2b＝9.②
由①②，得a＝1，b＝3.
(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2，故由f(x)在[m，m＋1]上单调递增，得[m，m＋1]?(－∞，－2]∪[0，＋∞)，∴m≥0或m＋1≤－2，即m≥0或m≤－3.
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21.(12分)将如图所示的边长为a的等边三角形铁片，剪去三个四边形，做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x，容积为V(x)．
(1)写出函数V(x)的解析式，并求出函数的定义域；
(2)求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．
22．(12分)已知函数f(x)＝ex＋.
(1)当a＝时，求函数f(x)在x＝0处的切线方程．
(2)函数f(x)是否存在零点？若存在，求出零点的个数，若不存在，说明理由．
答案
21.解：(1)因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(a－2x)，则V(x)＝(a－2x)2x，函数的定义域为.
(2)实际问题归结为求函数V(x)在区间上的最大值点．先求V(x)的极值点．
在开区间内，V′(x)＝9x2－6ax＋a2.
令V′(x)＝0，即9x2－6ax＋a2＝0，
解得x1＝a，x2＝a(舍去)．
因为x1＝a在区间内，x1可能是极值点．
当00；
当x1因为x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以x＝x1＝a是V(x)的最大值点，并且最大值为V＝a3.即当正三棱柱形容器高为a时，容器的容量最大为a3.
22．解：(1)∵f(x)＝ex＋，
∴f′(x)＝ex－，∴f′(0)＝1－.
当a＝时，f′(0)＝－3.又f(0)＝－1，
∴f(x)在x＝0处的切线方程为y－(－1)＝－3(x－0)，即y＝－3x－1.
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，a)∪(a，＋∞)．
当x∈(a，＋∞)时，ex>0，>0，
∴f(x)＝ex＋>0.
即f(x)在区间(a，＋∞)上没有零点．
当x∈(－∞，a)时，
f(x)＝ex＋＝，
令g(x)＝ex(x－a)＋1.
只要讨论g(x)的零点即可．g′(x)＝ex(x－a＋1)，g′(a－1)＝0.
当x∈(－∞，a－1)时，g′(x)<0，g(x)是减函数；
当x∈(a－1，a)时，g′(x)>0，g(x)是增函数．
∴g(x)在区间(－∞，a)上的最小值为g(a－1)＝1－ea－1.
显然，当a＝1时，g(a－1)＝0，∴x＝a－1是f(x)的唯一的零点；
当a<1时，g(a－1)＝1－ea－1>0，∴f(x)没有零点；
当a>1时，g(a－1)＝1－ea－1<0，∴f(x)有两个零点．第三章单元评估卷(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．若函数f(x)的导数为－2x2＋1，则f(x)可以等于( )
A．－2x3＋1
B．x＋1
C．－4x
D．－x3＋x
2．已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )
A．0秒、2秒或4秒
B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒
D．0秒、4秒或8秒
3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
4．一质点做直线运动，由始点经过t
s后与初始位置间的距离为s＝t3－6t2＋32t，则速度为0的时刻是( )
A．t＝4
s
B．t＝8
s
C．t＝4
s或t＝8
s
D．t＝0或t＝4
s
5．函数y＝x2ex的单调递减区间是( )
A．(－1,2)
B．(－∞，－1)与(1，＋∞)
C．(－∞，－2)与(0，＋∞)
D．(－2,0)
6．若曲线f(x)＝x2－1与g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，则x0等于( )
A.
B．－
C.
D.或0
7．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为( )
A．20
B．9
C．－2
D．2
8．设函数f(x)的图象如图，则函数y＝f′(x)的图象可能是下图中的( )
9．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值范围是( )
A．m<2或m>4
B．－4C．2D．以上皆不正确
10．如果圆柱的轴截面周长为定值4，那么圆柱体积的最大值为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
11．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的减区间是( )
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(－2，－1)
12．把一个周长为12
cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )
A．1∶2
B．1∶π
C．2∶1
D．2∶π
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
14．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．
15．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)在R上是单调递增函数，则a，b，c满足的关系式为________．
16．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)求下列函数的导数．
(1)y＝xsinx－；
(2)f(x)＝3xsinx－；
(3)y＝(2x2＋3)(3x－2)．
18．(12分)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝－是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a)上的最大值．
19.(12分)当0x－.
20．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．
21.(12分)将如图所示的边长为a的等边三角形铁片，剪去三个四边形，做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x，容积为V(x)．
(1)写出函数V(x)的解析式，并求出函数的定义域；
(2)求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．
22．(12分)已知函数f(x)＝ex＋.
(1)当a＝时，求函数f(x)在x＝0处的切线方程．
(2)函数f(x)是否存在零点？若存在，求出零点的个数，若不存在，说明理由．