周练卷(三)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋x2＝1
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A.
B.
C.
D.
4．已知F1，F2为椭圆＋＝1(0A.
B.
C.
D.
5．如果AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为( )
A．e－1
B．1－e
C．e2－1
D．1－e2
6．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是( )
A.－1
B．2－
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|＝________.
8．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为________．
9．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为________．
10．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于________．
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(15分)椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．
答案
1．A 2.D
3．B 椭圆方程化为标准方程为＋＝1，所以左焦点为F(－，0)，又直线斜率k＝tan＝，所以弦AB所在直线方程为y＝(x＋)，由可得7x2＋12x＋8＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|AB|＝·＝2＝.故选B.
4．A 因为S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin60°＝，所以|PF1|·|PF2|＝，又
|PF1|＋|PF2|＝20，所以|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝400， ①
由余弦定理知，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|
|PF2|·cos60°＝|F1F2|2＝4(100－b2)， ②
①－②得，3|PF1|·|PF2|＝4b2，
所以b2＝64，
所以c2＝100－64＝36，所以c＝6，
又a＝10，所以e＝.故选A.
5．C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
又＋＝1， ①
＋＝1， ②
①－②并整理可得＝－·，
即kAB＝－·，
又kOM＝，所以kAB·kOM＝－，
又e＝，所以－＝e2－1，
即kAB·kOM＝e2－1.故选C.
6．A 依题意知，∠F1PF2＝90°，
又∠PF1F2＝2∠PF2F1，
所以∠PF1F2＝60°，∠PF2F1＝30°，
所以|PF1|＝c，|PF2|＝c，
又|PF1|＋|PF2|＝2a＝(＋1)c，
所以e＝＝＝－1.故选A.
7．10
8.2＋y2＝
解析：由题圆一定过短轴两个端点(0，±2)，设圆心(m,0)，若过右顶点，则4－m＝得m＝，即圆心，半径为，圆的方程为2＋y2＝，若过左顶点，同理得圆的方程为2＋y2＝.
9．[2,2)
解析：因为点P(x0，y0)满足0<＋y<1，所以点P是椭圆＋y2＝1内部除原点外的一点，又a＝，c＝1，
所以|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|<2a，
即2≤|PF1|＋|PF2|<2.
10．8
解析：由＋＝1知，a＝5，b＝4，则c＝3，即F1(－3,0)，F2(3,0)，故|PF2|＝|F1F2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10，则
|PF1|＝10－6＝4，于是S△PF1F2＝·|PF1|
·h＝×4×＝8.
11．解：∵焦点到椭圆上点的最短距离为2－，∴a－c＝2－.①
又已知＝，②
由①②解得a＝2，c＝，
∴b2＝a2－c2＝1.
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
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12.(15分)已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的方程．
13．(20分)已知，椭圆C过点A，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
答案
12.解：(1)设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b＝4，由＝，
解得a＝4，b＝2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，所以椭圆C的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组
消去y，得5x2＋2mx＋m2－16＝0，
由题意，得Δ＝(2m)2－20(m2－16)>0，
且x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为|AB|＝
＝|x1－x2|
＝·＝，
所以2－＝2，
解得m＝±2，验证知Δ>0成立，所以直线l的方程为x－y＋2＝0或x－y－2＝0.
13．解：(1)由题意，c＝1，
可设椭圆方程为＋＝1.
因为A在椭圆上，所以＋＝1，
解得b2＝3，b2＝－(舍去)．
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线AE方程为y＝k(x－1)＋，
代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0
设E(xE，yE)，F(xF，yF)．
因为点A在椭圆上，
所以xE＝，
yE＝kxE＋－k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以－k代k，可得
xF＝，
yF＝－kxF＋＋k.
所以直线EF的斜率
kEF＝＝＝.
即直线EF的斜率为定值，其值为.周练卷(三)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋x2＝1
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A.
B.
C.
D.
4．已知F1，F2为椭圆＋＝1(0A.
B.
C.
D.
5．如果AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为( )
A．e－1
B．1－e
C．e2－1
D．1－e2
6．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是( )
A.－1
B．2－
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|＝________.
8．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为________．
9．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为________．
10．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于________．
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(15分)椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．
12.(15分)已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的方程．
13．(20分)已知，椭圆C过点A，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
