周练卷(四)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．双曲线y2－＝－1的虚轴长是( )
A．2
B．2
C．4
D．4
2．若方程－＝1表示双曲线，则实数m满足( )
A．m≠1且m≠－3
B．m>1
C．m<－或m>
D．－33．已知点P为双曲线－＝1上一点，且点P到双曲线一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )
A．1或21
B．14或36
C．2
D．21
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2
B．4
C．6
D．8
5.如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线C的离心率为( )
A.
B.
C．2
D.
6．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．渐近线方程为y＝±x，且过点A(2，－3)的双曲线的标准方程为________，离心率为________．
8．双曲线－＝1(a>2)的离心率的取值范围是________．
9．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则＝________.
10．已知F1(－3,0)，F(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的________(填序号)．
①2；②－1；③4；④－3.
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(15分)(1)求过点(2，－2)且与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线的方程；
(2)求双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离．
答案
1．A 本题主要考查双曲线的标准方程及简单的几何性质．双曲线y2－＝－1化成标准方程为－y2＝1，所以b＝1,2b＝2，即虚轴长为2，故选A.
2．C 本题主要考查双曲线标准方程的形式和应用．因为方程－＝1表示双曲线，而m2＋1>0恒成立，所以m2－3>0，解得m<－或m>，故选C.
3．D 本题主要考查双曲线定义的应用．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|
＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而c－a＝7－5＝2>1，所以舍去|PF2|＝1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D.
4．B 本题主要考查双曲线的性质及余弦定理．不妨设点P在双曲线的右支上，所以|PF1|
－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2c＝2.又因为∠F1PF2＝60°，所以在△F1PF2中利用余弦定理，可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|
·|PF2|cos60°，解得|PF1|·|PF2|＝4，故选B.
5．A 本题主要考查双曲线的几何性质．
∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，∴不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，∵|AB|2＋|BF|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，又由双曲线的定义，得|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－
|AF1|＝2a，∴|AF1|＋3－4＝5－|AF1|，∴|AF1|＝3，∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，∴a＝1，|BF1|＝6.在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2＝36＋16＝52，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝52，∴c＝，∴双曲线C的离心率e＝＝，故选A.
6．A 本题主要考查双曲线的定义、向量数量积及解三角形等知识．由·＝0可得
|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝40，又由||
·||＝2可得||MF1|－|MF2||＝
＝6，得a＝3，所以b＝1，所以该双曲线的方程为－y2＝1.故选A.
7.－＝1
解析：本题主要考查由渐近线方程和双曲线上的点求双曲线方程的方法和双曲线离心率的求法．设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝λ?λ＝－，∴所求双曲线方程为－＝1.又a2＝，b2＝4，∴c2＝，∴离心率e＝＝.
8．(1，)
解析：本题主要考查双曲线的标准方程、简单的几何性质以及离心率的取值范围．e2＝＝＝2－＋＝2＋1，由于a>2，所以0<<，所以11，所以离心率的取值范围是(1，)．
9.
解析：本题主要考查双曲线的定义及正弦定理．易求双曲线C：－＝1的离心率为e＝.在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知＝＝＝＝.
10．①②
解析：本题考查双曲线定义中的限制条件．设双曲线的方程为－＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴－11．解：(1)因为所求双曲线与双曲线－y2＝1有公共渐近线，所以可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2，－2)，所以－(－2)2＝λ，得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为－＝1.
(2)因为双曲线的方程为－＝1，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即x－2y＝0.因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等，且(3,0)为双曲线的一个焦点，所以双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离为＝.
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12.(15分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到直线l的距离是.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点B作直线m交双曲线于M，N两点，若·＝－23，求直线m的方程．
13．(20分)如图，设离心率为e的双曲线－＝1的右焦点为F，斜率为k的直线过点F，且与双曲线的左、右支以及y轴的交点依次为R，P，Q.
(1)试比较e2与1＋k2的大小；
(2)若P为FQ的中点，且ek＝2，求e的值．
答案
12.解：(1)依题意，直线l的方程为＋＝1，即bx－ay－ab＝0.
由原点O到直线l的距离是，
得＝＝，
又e＝＝，所以b＝1，a＝.
故所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)显然直线m不与x轴垂直，设直线m的方程为y＝kx－1，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
联立方程
消去y，得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0. ①
依题意，知1－3k2≠0，
由根与系数的关系，知
x1＋x2＝，x1x2＝.
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－23，解得k＝±.
当k＝±时，判别式Δ＝15>0，方程①有两个不等的实数根，满足条件．
故直线m的方程为y＝x－1或y＝－x－1.
13．解：(1)设F(c,0)，则过点F且斜率为k的直线方程为y＝k(x－c)，把y＝k(x－c)代入双曲线方程－＝1，消去y化简得(b2－a2k2)x2＋2ca2k2x－a2c2k2－a2b2＝0.
设P(x1，y1)，R(x2，y2)，
则x1x2＝－<0，
得b2－a2k2>0，即c2－a2－a2k2>0，
∴2－1－k2>0，∴e2>1＋k2.
(2)令y＝k(x－c)中的x＝0，得y＝－kc，即Q(0，－kc)．又P是FQ的中点，∴P.
由－＝1，得c2(c2－a2)－a2k2c2＝4a2(c2－a2)．
又ek＝2，则k2＝，上式化简得e4－5e2＝0，解得e2＝0或e2＝5.又e>1，∴e＝.周练卷(四)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．双曲线y2－＝－1的虚轴长是( )
A．2
B．2
C．4
D．4
2．若方程－＝1表示双曲线，则实数m满足( )
A．m≠1且m≠－3
B．m>1
C．m<－或m>
D．－33．已知点P为双曲线－＝1上一点，且点P到双曲线一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )
A．1或21
B．14或36
C．2
D．21
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2
B．4
C．6
D．8
5.如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线C的离心率为( )
A.
B.
C．2
D.
6．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．渐近线方程为y＝±x，且过点A(2，－3)的双曲线的标准方程为________，离心率为________．
8．双曲线－＝1(a>2)的离心率的取值范围是________．
9．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则＝________.
10．已知F1(－3,0)，F(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的________(填序号)．
①2；②－1；③4；④－3.
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(15分)(1)求过点(2，－2)且与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线的方程；
(2)求双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离．
12.(15分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到直线l的距离是.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点B作直线m交双曲线于M，N两点，若·＝－23，求直线m的方程．
13．(20分)如图，设离心率为e的双曲线－＝1的右焦点为F，斜率为k的直线过点F，且与双曲线的左、右支以及y轴的交点依次为R，P，Q.
(1)试比较e2与1＋k2的大小；
(2)若P为FQ的中点，且ek＝2，求e的值．
