周练卷(五)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x
B．y2＝2x
C．x2＝2y
D．x2＝－2y
2．已知θ∈R，则方程x2＋＝4表示的曲线不可能是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
3．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A．2
B．1
C．4
D．8
4．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )
A．3
B．2
C．2
D.
5．过点(0,1)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．0条
6．已知抛物线y＝x2－1上的一定点B(－1,0)和两个动点P，Q，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是( )
A．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
B．[－3,1]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，－3]∪∪
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
8．若抛物线C：y＝ax2(a>0)过点(4,2)，则抛物线C的焦点坐标为________．
9．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
10．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________.
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(15分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，点M是两条曲线的一个公共点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求双曲线的方程．
答案
1．B 本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.
2．D 本题主要考查cosθ的取值范围和各种圆锥曲线的标准方程．因为θ∈R，所以若cosθ＝1，此方程表示圆；若03．C 本题主要考查抛物线的定义和抛物线的焦点到准线的距离．抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－.因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，所以6＋＝8，解得p＝4，所以焦点F到抛物线准线的距离等于4，故选C.
4．A 本题主要考查抛物线和双曲线中的基本量和三角形面积的计算．抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的两条渐近线为y＝±x，它们所围成的三角形为边长为2的正三角形，所以所求三角形的面积为3，故选A.
5．C 本题主要考查直线与抛物线的位置关系．易知过点(0,1)且斜率不存在的直线x＝0，满足与抛物线y2＝4x只有一个公共点．当过点(0,1)的直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，与y2＝4x联立，整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k＝0时，方程有一个解，满足直线y＝kx＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点；当k≠0时，由Δ＝0，可得k＝1，满足直线y＝kx＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点．综上，满足题意的直线有3条，故选C.
6．D 本题主要考查两直线垂直的条件和直线与抛物线的位置关系．设P(t，t2－1)(t≠－1)，Q(s，s2－1)(s≠－1，s≠t)．∵BP⊥PQ，∴·＝－1，即t2＋(s－1)t－s＋1＝0.∵t∈R且t≠－1，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(s－1)2＋4(s－1)≥0，即s2＋2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1.又t＝－1时，s＝，∴s≤－3或1≤s<或s>，∴点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪∪，故选D.
7．2 x＝－1
解析：本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用．因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为，准线方程为x＝－，所以p＝2，准线方程为x＝－1.
8．(0,2)
解析：本题主要考查抛物线的标准方程及性质．将点(4,2)代入y＝ax2(a>0)，得a＝，所以抛物线标准方程为x2＝8y，焦点坐标为(0,2)．
9.
解析：
本题主要考查抛物线定义的应用．如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义，知点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为求点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和的最小值．显然，A，P，F三点共线时，所求的距离之和取得最小值，且AF的长为所求的最小值，故最小值为，即为.
10.
解析：
本题主要考查抛物线定义的应用．如图，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为D，E，再过点A作AC垂直BE于点C，设|BC|＝a，由于直线AB的倾斜角为30°，因此|AB|＝2a.由|AD|＝|AF|，|BF|＝|BE|，得|AD|
＝，则|AF|＝，|FB|＝，于是＝.
11．解：(1)把M代入方程y2＝2px，得p＝2，因此抛物线的方程为y2＝4x.
(2)抛物线的准线方程为x＝－1，所以F1的坐标为(－1,0)．设双曲线的右焦点为F，则F(1,0)，于是2a＝|MF1|－|MF|＝－＝，因此a＝.
又c＝1，所以b2＝c2－a2＝，
于是，双曲线的方程为－＝1.
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12.(15分)已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：＋＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1交于A，B两点．
(1)写出抛物线C1的标准方程；
(2)求△ABO面积的最小值．
13．(20分)设椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心及C2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：
x
3
－2
4
y
－2
0
－4
(1)求曲线C1，C2的标准方程；
(2)设直线l过抛物线C2的焦点F，l与椭圆交于不同的两点M，N，当·＝0时，求直线l的方程．
答案
12.解：(1)椭圆C2：＋＝1的右焦点(1,0)，即为抛物线C1的焦点．
又抛物线C1的顶点在坐标原点，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时|AB|＝8，△ABO的面积S＝×8×4＝16.
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)．
由
得ky2－4y－16k＝0，Δ＝16＋64k2>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1＋y2＝，y1y2＝－16，所以S△ABO＝S△AOM＋S△BOM＝|OM||y1－y2|＝
|OM|·＝2>16.
综上所述，△ABO面积的最小值为16.
13．解：(1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值范围，知点在椭圆上．
设椭圆C1的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由此可得a＝2，＋＝1，∴b2＝1，
∴椭圆C1的标准方程为＋y2＝1.
由点(3，－2)，(4，－4)在抛物线C2上，知抛物线开口向右．设其方程为y2＝2px(p>0)，∴12＝6p，∴p＝2，∴抛物线C2的标准方程为y2＝4x.
(2)由(1)，知F(1,0)．
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1.
由，得l与椭圆C1的两个交点为，，∴·＝≠0，
∴直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由，消去y，得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0，Δ＝64k4－4(1＋4k2)(4k2－4)＝48k2＋16>0，
x1＋x2＝，x1x2＝.
∵·＝0，∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋k(x1－1)·k(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋k2＝(1＋k2)·－k2·＋k2＝0，解得k＝±2，∴直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.周练卷(五)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x
B．y2＝2x
C．x2＝2y
D．x2＝－2y
2．已知θ∈R，则方程x2＋＝4表示的曲线不可能是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
3．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A．2
B．1
C．4
D．8
4．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )
A．3
B．2
C．2
D.
5．过点(0,1)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．0条
6．已知抛物线y＝x2－1上的一定点B(－1,0)和两个动点P，Q，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是( )
A．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
B．[－3,1]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，－3]∪∪
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
8．若抛物线C：y＝ax2(a>0)过点(4,2)，则抛物线C的焦点坐标为________．
9．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
10．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________.
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(15分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，点M是两条曲线的一个公共点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求双曲线的方程．
12.(15分)已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：＋＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1交于A，B两点．
(1)写出抛物线C1的标准方程；
(2)求△ABO面积的最小值．
13．(20分)设椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心及C2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：
x
3
－2
4
y
－2
0
－4
(1)求曲线C1，C2的标准方程；
(2)设直线l过抛物线C2的焦点F，l与椭圆交于不同的两点M，N，当·＝0时，求直线l的方程．
